Home / BAHAN BELAJAR MATEMATIKA
Tampilkan postingan dengan label BAHAN BELAJAR MATEMATIKA. Tampilkan semua postingan
Tampilkan postingan dengan label BAHAN BELAJAR MATEMATIKA. Tampilkan semua postingan
Pembahasan Ujian Nasional Matematika 2008 No 16-20

Pembahasan Ujian Nasional Matematika 2008 No 16-20

  1. Diketahui matriks :
    A = -a     4-
    -1   c
    B = -2     b -
    d   -3
    C = -1   -3 -
    3    4
    D = -0    1 -
    1    0

    Jika keempat matriks tersebut memenuhi persamaan matriks A + B = C . D, maka nilai a + b + c + d sama dengan ....
    A. -7D. 3
    B. -5E. 7
    C. 1

    Pembahasan :
    Berdasarkan operasi penjumlahan dua matriks, maka hasil dari A + B adalah :
    ⇒ A = -a     4-
    -1   c
    ⇒ B = -2     b -
    d   -3
    ⇒ A + B = -a + 2       4 + b -
    -1 + d    c + (-3)
    ⇒ A + B = -a + 2     4 + b -
    d - 1     c - 3

    Berdasarkan operasi perkalian dua matriks, maka hasil C . D adalah :
    ⇒ C.D = -1   -3 - . -0    1 -
    3    41    0
    ⇒ C.D = -1(0) + (-3)(1)     1(1) + (-3)(0) -
    3(0) + 4(1)             3(1) + 4(0)
    ⇒ C.D = --3     1 -
    4      3

    Dengan demikian kita peroleh :
    ⇒ A + B = C.D
    ⇒  -a + 2     4 + b - = --3    1 -
    d - 1     c - 34     3

    Berdasarkan konsep kesamaan matriks, maka kita peroleh :
    Nilai a :
    ⇒ a + 2 = -3
    ⇒ a = -5

    Nilai b :
    ⇒ 4 + b = 1
    ⇒ b = -3

    Nilai c :
    ⇒ c - 3 = 3
    ⇒ c = 6

    Nilai d :
    ⇒ d - 1 = 4
    ⇒ d = 5

    Dengan demikian, hasil jumlah keempatnya adalah :
    ⇒ a + b + c + d = -5 + (-3) + 6 + 5
    ⇒ a + b + c + d = 3
    Jawaban : D

Read more : Kumpulan Soal dan Pembahasan Persamaan Matriks.
  1. Diketahui matriks :
    P = -2     5-
    1    3
    Q = -5     4 -
    1    1

    Jika P-1 adalah invers matriks P dan Q-1 adalah invers matriks Q, maka determinan matriks P-1.Q-1 adalah ...
    A. 223D. -10
    B. 1E.-223
    C. -1

    Pembahasan : 
    Invers matriks P :
    ⇒ P-1 = 1  -3     -5-
    6 - 5-1     2
    ⇒ P-1 = -3     -5 -
    -1     2

    Invers matriks P :
    ⇒ Q-1 = 1  -1     -4-
    5 -4-1     5
    ⇒ Q-1 = -1     -4 -
    -1     5

    Hasil kali invers P dan invers Q :
    ⇒ P-1.Q-1 = -3    -5 - . -1    -4 -
    -1    2-1     5
    ⇒ P-1.Q-1 = -3(1) + (-5)(-1)     3(-4) + (-5)(5) -
    -1(1) + 2(-1)          -1(-4) + 2(5)
    ⇒ P-1.Q-1 = -8     -37 -
    -3      14

    Dengan demikian kita peroleh :
    ⇒ |P-1.Q-1| = 8(14) - (-3)(-37)
    ⇒ |P-1.Q-1| = 112 - 111
    ⇒ |P-1.Q-1| = 1
    Jawaban : B

Read more : Kumpulan Soal dan Pembahasan Determinan Matriks.
  1. Diketahui vektor a = 2ti - j + 3k, b = -ti + 2j - 5k, dan c = 3ti + tj + k. Jika vektor (a + b) tegak lurus c, maka nilai 2t sama dengan ....
    A. -2 atau 4/3D. 3 atau 2
    B. 2 atau 4/3E. -3 atau 2
    C. 2 atau -4/3

    Pembahasan :
    ⇒ a + b = (2ti - j + 3k) + (-ti + 2j - 5k)
    ⇒ a + b = 2ti - ti - j + 2j + 3k - 5k
    ⇒ a + b = ti + j - 2k

    Karena vektor (a + b) tegak lurus c, maka berlaku :
    ⇒ (a + b).c = 0
    ⇒ (ti + j - 2k).(3ti + tj + k) = 0
    ⇒ ti(3ti) + j(tj) -2k(k) = 0
    ⇒ 3t2 + t - 2 = 0
    ⇒ (3t - 2)(t + 1) = 0
    ⇒ t = 2/3 atau t = -1
    ⇒ 2t = 4/3 atau 2t = -2
    Jawaban : A

  2. Diketahui vektor a = (-2 3 4) dan b = (x 0 3). Jika panjang proyeksi vektor a pada b adalah 4/5, maka salah satu nilai x adalah ...
    A. 6D. -4
    B. 4E. -6
    C. 2

    Pembahasan :
    Panjang proyeksi vektor a pada b :
    ⇒  a.b  = 4
    |b|5
    ⇒ 5 a.b = 4|b|
    ⇒ 5(-2.x + 3.0 + 4.3) = 4(√x2 + 9)
    ⇒ 5(-2x + 12) = 4(√x2 + 9)
    ⇒ -10x + 60 = 4(√x2 + 9)
    ⇒ (-10x + 60)2 = {4(√x2 + 9)}2
    ⇒ 100x2 - 1200x + 3600 = 16(x2 + 9)
    ⇒ 100x2 - 1200x + 3600 = 16x2 + 144
    ⇒ 84x2 - 1200x + 3456 = 0
    ⇒ 7x2 - 100x + 288 = 0
    ⇒ (7x - 72)(x - 4) = 0
    ⇒ x = 72/7 atau x = 4
    Jawaban : B

Read more : Contoh Soal Perkalian Titik (Dot Product) Vektor.
  1. Persamaan bayangan parabola y = x2 + 4 karena rotasi dengan pusat O(0,0) sejauh 180o adalah ...
    1. x = y2 + 4
    2. x = -y2 + 4
    3. x = -y2 - 4
    4. y = -x2 - 4
    5. y = x2 + 4

    Pembahasan :
    ⇒  -x'- = --1    0 - . -x -
    y' 0    -1y
    ⇒  -x'- = --x -
    y' -y
    ⇒ x' = -x dan y' = -y
    ⇒ x = -x' dan y = -y'

    Dengan demikian, persamaan bayangannya adalah :
    ⇒ y = x2 + 4
    ⇒ -y' = (-x')2 + 4
    ⇒ -y' = x'2 + 4
    ⇒ y' = -x'2 - 4
    ⇒ y = -x2 - 4
    Jawaban : D

Read more : Kumpulan Soal SBMPTN Transformasi, Refleksi dan Rotasi.

Pembahasan Ujian Nasional Matematika 2008 No 11-15

  1. Persamaan garis singgung melalui titik A(-2, -1) pada lingkaran x2 + y2 + 12x - 6y + 13 = 0 adalah ...
    1. -2x - y - 5 = 0
    2. x - y + 1 = 0
    3. x + 2y + 4 = 0
    4. 3x - 2y + 4 = 0
    5. 2x - y + 3 = 0

    Pembahasan :
    Persamaan lingkaran x2 + y2 + 12x - 6y + 13 = 0 dapat diubah ke dalam bentuk umum persamaan lingkaran dengan pusat (a, b) dan jari-jari R, yaitu :
    (x − a)2 + (y − b)2 = R2

    Jika diubah ke dalam bentuk tersebut, maka :
    ⇒ x2 + y2 + 12x - 6y + 13 = 0
    ⇒ (x2 + 12x) + (y2 - 6y) + 13 = 0
    ⇒ {(x + 6)2 - 36} + {(y - 3)2  - 9} + 13 = 0
    ⇒ (x + 6)2 + (y - 3)2 - 36 - 9 + 13 = 0
    ⇒ (x + 6)2 + (y - 3)2 - 32 = 0
    ⇒ (x + 6)2 + (y - 3)2 = 32
    Diperoleh : a = -6, b = 3, R2 = 32.

    Kita sudah memperoleh bentuk umum persamaan lingkarannya. Sekarang, kita tentukan persamaan garis singgungnya.

    Persamaan garis singgung yang melalui titik (x1, y1) pada lingkaran (x − a)2 + (y − b)2 = R2 dapat ditentukan dengan rumus berikut :
    (x1 − a)(x − a) + (y1 − b)(y − b) = R2

    Dari soal diketahui garis singgung melalui titik A(-2, -1), maka x1 = -2 dan y1 = -1.
    ⇒ (x1 − a)(x − a) + (y1 − b)(y − b) = R2
    ⇒ (-2 − (-6))(x − (-6)) + (-1 − 3)(y − 3) = 32
    ⇒ (-2 + 6)(x + 6) + (-1 − 3)(y − 3) = 32
    ⇒ 4(x + 6) + {-4(y − 3)} = 32
    ⇒ 4x + 24 - 4y + 12 = 32
    ⇒ 4x - 4y + 36 = 32
    ⇒ 4x - 4y + 4 = 0
    ⇒ x - y + 1 = 0
    Jawaban : B

Read more : Soal dan Pembahasan Persamaan Garis Singgung Lingkaran.
  1. Salah satu faktor suku banyak P(x) = x4 - 15x2 - 10x + n adalah (x + 2). Faktor lainnya adalah ....
    A. x - 4D. x - 6
    B. x + 4E. x - 8
    C. x + 6

    Pembahasan :
    Karena salah satu faktor suku banyak sudah diketahui yaitu (x + 2), maka untuk mengetahui faktor yang lain, kita harus menentukan hasil baginya terlebih dahulu.

    Hasil bagi dapat kita tentukan dengan metode sintetik. Jika P(x) = x4 - 15x2 - 10x + n dibagi (x + 2), maka :
    -210-15-10n


    		-2 422-24+

    		1-2-1112n - 24
    Hasil bagi h(x) = x3 - 2x2 - 11x + 12 dan sisa bagi s(x) = n - 24.

    Karena (x + 2) merupakan faktor suku banyak, maka sisa pembagiannya sama dengan nol. Pada metode di atas, kita peroleh sisa bagi n - 24. Maka nilai n adalah :
    ⇒ n - 24 = 0
    ⇒ n = 24

    Karena n = 24, maka persamaan suku banyaknya adalah :
    ⇒ P(x) = x4 - 15x2 - 10x + 24

    Berdasarkan teorema sisa, hubungan suku banyak dengan hasil bagi dapat ditulis sebagai berikut :
    P(x) = h(x).g(x) + s(x)

    Dengan :
    P(x) = suku banyak
    h(x) = hasil bagi
    g(x) = pembagi
    s(x) = sisa bagi

    Berdasarkan teorema tersebut, maka kita peroleh :
    ⇒ P(x) = h(x).g(x) + s(x)
    ⇒ P(x) = x3 - 2x2 - 11x + 12 (x + 2) + 0

    Untuk mengetahui faktor lainnya, kita dapat melihat persaman x3 - 2x2 - 11x + 12 sebagai berikut :
    ⇒ P(x) = x3 - 2x2 - 11x + 12 (x + 2)
    ⇒ P(x) = (x - 4)(x + 3)(x - 1)(x + 2)
    Jadi faktor lainnya adalah (x - 4), (x + 3), dan (x - 1).
    Jawaban : A

Read more : Soal dan Pembahasan Menentukan Faktor Suku Banyak.
  1. Pada toko buku "murah", Adil membeli 4 buku, 2 pulpen dan 3 pensil dengan harga Rp 26.000,00. Bima membeli 3 buku, 3 pulpen dan 1 pensil dengan harga Rp 21.500,00. Citra membeli 3 buku dan 1 pensil dengan harga Rp 12.500,00. Jika Dina membeli 2 pulpen dan 2 pensil, maka ia harus membayar ...
    1. Rp 5.000,00
    2. Rp 6.500,00
    3. Rp 10.000,00
    4. Rp 11.000,00
    5. Rp 13.000,00

    Pembahasan :
    Untuk mempermudah, kita bisa lakukan pemisalan sebagai berikut :
    ⇒ Harga 1 buku = B
    ⇒ Harga 1 pulpen = P
    ⇒ Harga 1 pensil = L

    Jika ditulis dalam bentuk persamaan matematika, maka soal di atas dapat ditulis dalam sistem persamaan sebgai berikut :
    ⇒ 4B + 2P + 3L = 26.000 ....(1)
    ⇒ 3B + 3P + L = 21.500 ....(2)
    ⇒ 3B + L = 12.500 ....(3)

    Dari persamaan (2) dan (3) :
    3B + 3P + L = 21.500
    3B         + L = 12.500 -
    3P = 9.000
    P = 3.000

    Substitusi nilai P ke persamaan (1) :
    ⇒ 4B + 2P + 3L = 26.000
    ⇒ 4B + 2(3000) + 3L = 26.000
    ⇒ 4B + 3L = 20.000 ....(4)

    Substitusi nilai P ke persamaan (2) :
    ⇒ 3B + 3P + L = 21.500
    ⇒ 3B + 3(3000) + L = 21.500
    ⇒ 3B + L = 12.500 ....(5)

    Dari persamaan (4) dan (5) :
    4B + 3L = 20.000 |x 1|
    3B + L = 12.500 |x 3|

    4B + 3L = 20.000
    9B + 3L = 37.500 -
    -5B = -17.500
    B = 3.500

    Substitusi nilai B ke persamaan (5) :
    ⇒ 3B + L = 12.500
    ⇒ 3(3.500) + L = 12.500
    ⇒ L = 2.000

    Karena Dina membeli 2 pulpen dan 2 pensil, maka uang yang harus ia keluarkan adalah :
    ⇒ 2P + 2L = 2(3000) + 2(2000)
    ⇒ 2P + 2L = 6.000 + 4.000
    ⇒ 2P + 2L = 10.000,00
    Jadi, Dina harus membayar Rp 10.000,00
    Jawaban : C

Read more : Gradien dan Persamaan Garis Linear.
  1. Daerah yang diarsir pada gambar di bawah merupakan himpunan penyelesaian suatu sistem pertidaksamaan linear.
    Pembahasan Ujian Nasional Matematika 2007/2008
    Nilai maksimum dari f(x,y) = 7x + 6y adalah ....
    A. 88D. 106
    B. 94E. 196
    C. 102

    Pembahasan :
    Untuk menyelesaikan soal di atas, kita harus menentukan titik potong antar kedua garis. Titik potong tersebut dapat kita tentukan dengan menentukan persamaan garisnya terlebih dahulu.

    Untuk menentukan persamaan garis jika grafiknya diketahui dapat digunakan rumus berikut :
    ax + by = ab

    pembahasan ujian nasional 2008
    Dengan menggunakan metode tersebut, maka diperoleh persamaan kedua garis, yaitu :
    Garis 1 → 20x + 12y = 240 → 5x + 3y = 60.
    Garis 2 → 15x + 18y = 270 → 5x + 6y = 90.

    Dari gambar di atas, ada tiga titik yang memungkinkan untuk memperoleh nilai maksimum yaitu tiik A, B, dan C. Titik A dan C dapat kita tentukan dengan melihat gambar yaitu A(0, 15) dan C(12, 0).

    Titik B merupakan titik potong antara garis 1 dan garis 2 :
    5x + 3y = 60
    5x + 6y = 90 -
    -3y = -30
    y = 10

    Substitusi nilai y ke persamaan garis 1 :
    ⇒ 5x + 3y = 60
    ⇒ 5x + 30 = 60
    ⇒ 5x = 30
    ⇒ x = 6
    Jadi, titik B(6, 10)

    Untuk mengetahu nilai maksimum fungsi tujuan f(x,y) = 7x + 6y, maka subsitusikan masing-masing titik sebagai berikut :
    Titik Pojokf(x,y) = 7x + 6y
    A(0, 15)80
    B(6, 10)102 → maksimum
    C(12, 0)84

    Jadi, nilai maksimumnya adalah 102.
    Jawaban : C

Read more : Menyusun Sistem Pertidaksamaan Linear Jika Grafiknya Diketahui.
  1. Seorang pembuat kue mempunyai 4 kg gula dan 9 kg tepung. Untuk membuat sebuah kue jenis A dibutuhkan 20 gram gula dan 60 gram tepung, sedangkan untuk membuat sebuah kue jenis B dibutuhkan 20 gram gula dan 40 gram tepung. Jika kue A dijual dengan harga Rp 4.000,00/buah dan kue B dijual dengan harga Rp 3.000,00/buah, maka pendapatan maksimum yang dapat diperoleh pembuat kue tersebut adalah ...
    1. Rp 600.000,00
    2. Rp 650.000,00
    3. Rp 700.000,00
    4. Rp 750.000,00
    5. Rp 800.000,00

    Pembahasan :

    		ABStok
    Gula20204.000
    Tepung60409.000

    Berdasarkan tabel tersebut, maka model matematika untuk soal tersebut adalah :
    ⇒ 20x + 20y ≤ 4.000 → x + y ≤ 200
    ⇒ 60x + 40y ≤ 9.000 → 3x + 2y ≤ 450
    ⇒ x ≥ 0, y ≥ 0
    ⇒ Fungsi tujuan f(x,y) = 4.000x + 3.000y



    Dari grafik di atas jelas terlihat ada tiga titik pojok yang memungkinkan nilai maksimum, yaitu A, B dan C. Titik A dan C berturut-turut adalah (0, 200) dan (150, 0).

    Titik B merupakan tiitk potong kedua garis :
    x + y = 200 |x 2|
    3x + 2y = 450 |x 1|

    2x + 2y = 400
    3x + 2y = 450 -
    -x = -50
    x = 50

    Substitusi nilai x ke persamaan garis 1 :
    ⇒ x + y = 200
    ⇒ 50 + y = 200
    ⇒ y = 150
    Jadi titik B(50, 150)

    Pendapatan maksimum :
    Titik Pojokf(x,y) = 4.000x + 3.000y
    A(0, 200)600.000
    B(50, 150)650.000 → maksimum
    C(150, 0)600.000

    Jadi, pendapatan maksimumnya adalah Rp 650.000,00.
    Jawaban : B

Read more : Menentukan Nilai Maksimum Fungsi Objektif Pertidaksamaan Linear.
Pembahasan Ujian Nasional Matematika 2008 No 6-10

Pembahasan Ujian Nasional Matematika 2008 No 6-10

  1. Invers dari fungsi :
    f(x) = 3x - 2
    5x + 8
    dengan x ≠ -8/5 adalah f-1(x) = ....
    A.  -8x + 2
    5x - 3
    B.  8x - 2
    5x + 3
    C.  8x - 2
    3 + 5x
    D.  8x + 2
    3 - 5x
    E.  -8x + 2
    3 - 5x

    Pembahasan : 
    Untuk menentukan invers dari fungsi yang berbentuk pembagian seperti pada soal, kita dapat menggunakan rumus khusus. Jika diketahui fungsi :
    f(x) = ax + b
    cx + d
    Maka inversnya adalah :
    f-1(x) = -dx + b
    cx - a

    Pada soal diketahui :
    ⇒ f(x) = 3x - 2
    5x + 8
    ⇒ a = 3, b = -2, c = 5 dan d = 8.

    Berdasarkan rumus di atas, maka inversnya adalah :
    ⇒ f-1(x) = -dx + b
    cx - a
    ⇒ f-1(x) = -8x + (-2)
    5x - 3
    ⇒ f-1(x) = -(8x + 2)
    -(3 - 5x)
    ⇒ f-1(x) = 8x + 2
    3 - 5x
    Jawaban : D

Read more : Soal dan Jawaban Fungsi Komposisi dan Invers.
  1. Bila x1 dan x2 merupakan penyelesaian dari persamaan 22x - 6.2x+1 + 32 = 0 dengan x1 > x2, maka nilai dari 2x1 + x2 = ....
    A. 1/4D. 8
    B. 1/2E. 16
    C. 4

    Pembahasan :
    Soal di atas dapat diselesaikan dengan menggunakan konsep akar persamaan kuadrat. Untuk itu, kita ubah terlebih dahulu soalnya seperti berikut :
    ⇒ 22x - 6.2x+1 + 32 = 0
    ⇒ 22x - 6.2x.21 + 32 = 0
    ⇒ (2x)2 - 12.2x + 32 = 0

    Kita misalkan 2x = P, maka persamaannya menjadi :
    ⇒ P2 - 12P + 32 = 0
    ⇒ (P - 4)(P - 8) = 0
    ⇒ P = 4 atau P = 8

    Selanjutnya kita kembalikan nilai P untuk menentukan nilai x1 dan x2.
    Untuk P = 4
    ⇒ 2x = P
    ⇒ 2x = 4
    ⇒ 2x = 22
    ⇒ x = 2

    Untuk P = 8
    ⇒ 2x = P
    ⇒ 2x = 8
    ⇒ 2x = 23
    ⇒ x = 3

    Karena pada soal disebutkan x1 > x2, maka x1 = 3 dan x2 = 2. Dengan demikian :
    ⇒ 2x1 + x2 = 2(3) + 2
    ⇒ 2x1 + x2 = 6 + 2
    ⇒ 2x1 + x2 = 8
    Jawaban : D

Read more : Soal dan Jawaban Eksponen.
  1. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan eksponen 92x-4 ≥ (1/27)x2-4 adalah ....
    1. {x| 2 ≤ x ≤ 10/3}
    2. {x| -10/3 ≤ x ≤ 2}
    3. {x| x ≤ -10/3 atau x ≥ 2}
    4. {x| x ≤ -2 atau x ≥ 10/3}
    5. {x| -10/3 ≤ x ≤ -2}

    Pembahasan :
    ⇒ 92x-4 ≥ (1/27)x2-4
    ⇒ (32)2x-4 ≥ (1/27)x2-4
    ⇒ (3)4x-8 ≥ (3-3)x2-4
    ⇒ (3)4x-8 ≥ (3)-3x2+12
    ⇒ 4x - 8 ≥ -3x2 + 12
    ⇒ 3x2 - 12 + 4x - 8 ≥ 0
    ⇒ 3x2 + 4x - 20 ≥ 0

    Jika kita selesaikan persamaannya, maka kita peroleh :
    ⇒ 3x2 + 4x - 20 = 0
    ⇒ (3x + 10)(x - 2) = 0
    ⇒ x = -10/3 atau x = 2

    Untuk menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaannya, kita gunakan bantuan garis bilangan dan menyelidiki nilai-nilai di antara x yang diperoleh.
    ++++++++- - - - - - -+++++++
    -10/302

    Berdasarkan garis bilangan, maka himpunan penyelesaiannya adalah :
    ⇒ {x| x ≤ -10/3 atau x ≥ 2}
    Jawaban : C

Read more : Contoh Soal dan Jawaban Sifat Eksponen.
  1. Akar-akar persamaan 2log2 x - 6 2log x + 8 = 2log 1 adalah x1 dan x2. Nilai x1 + x2 = ...
    A. 6D. 12
    B. 8E. 20
    C. 10

    Pembahasan :
    Sama seperti soal nomor 7, soal di atas juga dapat diselesaikan dengan menggunakan prinsip persamaan kuadrat. Untuk itu kita ubah soalnya menjadi persamaan kuadra sebagai berikut :
    ⇒ 2log2 x - 6 2log x + 8 = 2log 1
    ⇒ 2log2 x - 6 2log x + 8 = 0
    ⇒ (2log x)2 - 6 2log x + 8 = 0

    Kita misalkan 2log x = P, maka persamaannya menjadi :
    ⇒ (2log x)2 - 6 2log x + 8 = 0
    ⇒ P2 - 6P + 8 = 0
    ⇒ (P - 2)(P - 4) = 0
    ⇒ P = 2 atau P = 4

    Selanjutnya, kita kembalikan nilai P untuk menentukan nilai x.
    Untuk P = 2
    ⇒ 2log x = P
    ⇒ 2log x = 2
    ⇒ 2log x = 2log 22
    ⇒ x = 22
    ⇒ x1 = 4

    Untuk P = 4
    ⇒ 2log x = P
    ⇒ 2log x = 4
    ⇒ 2log x = 2log 24
    ⇒ x = 24
    ⇒ x2 = 16

    Dengan demikian :
    ⇒ x1 + x2 = 4 + 16
    ⇒ x1 + x2 = 20
    Jawaban : E

Read more : Pembahasan Soal SBMPTN tentang Persamaan Logaritma.
  1. Perbandingan umur Ali dan Badu 6 tahun yang lalu adalah 5 : 6. Hasil kali umur keduanya sekarang adalah 1.512. Umur Ali sekarang adalah ... tahun.
    A. 30D. 38
    B. 35E. 42
    C. 36

    Pembahasan :
    Untuk mempermudah, kita lakukan pemisalan sebagai berikut :
    ⇒ Umur Ali sekarang = A
    ⇒ Umur Budi sekarang = B

    Perbandingan umur Ali dan Budi 6 tahun yang lalu :
    ⇒  A - 6  =  5
    B - 66

    Hasil kali umum Ali dan Budi sekarang :
    ⇒ A . B = 1.512

    Dari perbandingan umur kita peroleh persamaan :
    ⇒  A - 6  =  5
    B - 66
    ⇒ 6(A - 6) = 5(B - 6)
    ⇒ 6A - 36 = 5B - 30
    ⇒ 6A - 36 + 30 = 5B
    ⇒ 6A - 6 = 5B
    ⇒ B = 6/5A - 6/5

    Substitusi nilai B ke persamaan hail kali umur :
    ⇒ A . B = 1.512
    ⇒ A(6/5A - 6/5) = 1.512
    ⇒ 6/5A2 - 6/5A = 1.512
    ⇒ 6/5A2 - 6/5A - 1.512  = 0

    Perhatikan persamaan kuadrat yang kita peroleh di atas. Selanjutnya kita kali kedua ruas dengan 5 sehingga kita peroleh :
    ⇒ 6A2 - 6A - 7560 = 0
    ⇒ a = 6, b = -6, c = -7560

    Dengan menggunakan rumus abc, kita peroleh :
    ⇒ A1,2 = -b ± √b2 - 4ac
    2a
    ⇒ A1,2 = 6 ± √36 - 4(6)(-7560)
    2(6)
    ⇒ A1,2 = 6 ± √36 + 181440
    12
    ⇒ A1,2 = 6 ± √181476
    12
    ⇒ A1,2 = 6 ± 426
    12
    ⇒ A1 = 6 - 426
    12
    Tidak Memenuhi karena bernilai negatif.

    Dengan demikian nilai A yang memenuhi adalah :
    ⇒ A2 = 6 + 426
    12
    ⇒ A2 = 432
    12
    ⇒ A = 36
    Jadi, umur Ali sekarang adalah 36 tahun.
    Jawaban : C

Read more : Menentukan Akar-akar Persamaan Kuadrat Dengan Rumus abc.
Pembahasan Ujian Nasional Matematika 2008 No 1-5

Pembahasan Ujian Nasional Matematika 2008 No 1-5

  1. Ingkaran dari pernyataan "Beberapa bilangan prima adalah bilangan genap" adalah ....
    • Semua bilangan prima adalah bilangan genap
    • Semua bilangan prima bukan bilangan genap
    • Beberapa bilangan prima bukan bilangan genap
    • Beberapa bilangan genp bukan bilangan prima
    • Beberapa bilangan genap adalah bilangan prima

    Pembahasan :
    Pernyataan pada soal merupakan pernyataan berkuantor. Pada pernyataan berkuantor ada dua simbol yang umum digunakan, yaitu simbol ∀ untuk menyatakan semua atau setiap dan simbol Ǝ untuk menyatakan ada atau beberapa.

    Berikut bebeapa keadaan yang umum dalam kalimat berkuantor.
    PernyataanIngkaran
    Semua adalah
    (∀x),P(x)    		Ada yang tidak
    (Ǝx),~P(x)
    Ada/beberapa
    (Ǝx),P(x)    		Semua tidak
    (∀x),~P(x)
    Tidak ada yang
    (∀x),~P(x)    		Ada beberapa
    (Ǝx),P(x)

    Nah berdasarkan keadaan di atas, maka keadaan yang sesuai untuk soal kita adalah keadaan nomor 2 yaitu untuk pernyataan beberapa. Kita misalkan :
    ⇒ (Ǝx) = beberapa bilangan prima
    ⇒ P(x) = bilangan genap

    Maka sesuai dengan prinsip ingkaran di atas, maka ingkaran untuk (Ǝx),P(x) adalah (∀x),~P(x) yang artinya :
    ⇒ (∀x) = semua bilangan prima
    ⇒ ~P(x) = bukan bilangan genap

    Jadi, ingkaran untuk pernyataan "Beberapa bilangan prima adalah bilangan genap" adalah "Semua bilangan prima bukan bilangan genap".
    Jawaban : B

Read more : Rumus Logika Matematika dan Tabel Kebenaran.
  1. Diketahui premis-premis :
    1. Jika Badu rajin belajar dan patuh pada orangtua, maka ayah akan membelikan bola basket.
    2. Ayah tidak membelikan bola basket.
    Kesimpulan yang sah adalah ....
    • Badu rajin belajar dan Badu patuh pada orangtua
    • Badu tidak rajin belajar dan Badu tidak patuh pada orangtua
    • Badu tidak rajin belajar atau Badu tidak patuh pada orangtua
    • Badu tidak rajin belajar dan Badu patuh pada orangtua
    • Badu rajin belajar atau Badu tidak patuh pada orangtua

    Pembahasan :
    Untuk mempersingkat, kita dapat membuat pemisalan sebagai berikut :
    ⇒ Badu rajin belajar = u
    ⇒ Badu patuh pada orangtua = v
    ⇒ Badu rajin belajar dan patuh pada orangtua = p = (u ∧ v)
    ⇒ Ayah membelikan bola basket = q
    ⇒ Ayah tidak membelikan bola basket = ~q

    Berdasarkan Modus Tollens :
    p → q
          ~q
    ∴   ~p

    Kita sudah punya kesimpulan yaitu ~p. Sekarang, yang harus kita lakukan adalah mencari arti dari kesimpulan itu. Nah, karena p = (u ∧ v), maka negasinya adalah :
    ⇒ ~p = ~(u ∧ v)
    ⇒ ~p = ~u ∨ ~v

    Jadi, kesimpulan yang sah dari pernyataan pada soal adalah "Badu tidak rajin belajar atau Badu tidak patuh pada orangtua".
    Jawaban : C

Read more : Menarik Kesimpulan dengan Silogisme, Modus Ponens, dan Modus Tollens.
  1. Bentuk 3√24 + 2√3(√32 - 2√16) dapat disederhanakan menjadi ....
    A. √6D. 6√6
    B. 2√6E. 9√6
    C. 4√6

    Pembahasan : 
    Ingat bahwa dalam operasi matematika, perkalian atau bentuk dalam kurung harus diselesaikan lebih dahulu sebelum penjumlahan.
    ⇒ 3√24 + 2√3(√32 - 2√16) = 3√24 + 2√96 - 4√54) 
    ⇒ 3√24 + 2√3(√32 - 2√16) = 3(2√6) + 2(4√6) - 4(3√6) 
    ⇒ 3√24 + 2√3(√32 - 2√16) = 6√6 + 8√6 - 12√6
    ⇒ 3√24 + 2√3(√32 - 2√16) = 2√6
    Jawaban : B

Read more : Soal dan Pembahasan Perkalian Bentuk Akar.
  1. Diketahui 2log 7 = a dan 2log 3 = b, maka nilai dari 6log 14 adalah ....
    A. a/(a+b)D. a/a(1+b)
    B. (a+1)/(a+b)E. (a+1)/(1+b)
    C. (a+1)/(b+1)

    Pembahasan :
    Prinsip penyelesaian soal logaritma di atas adalah mengubah bentuk 6log 14 dalam bentuk logaritma yang diketahui. Berikut salah satu cara yang bisa kita lakukan :
    ⇒ 6log 14 = 2log 14
    2log 6
    ⇒ 6log 14 = 2log (7.2)
    2log (3.2)
    ⇒ 6log 14 = 2log 7 + 2log 2
    2log 3 + 2log 2
    ⇒ 6log 14 = 2log 7 + 1
    2log 3 + 1

    Pada soal diketahui 2log 7 = a dan 2log 3 = b, maka :
    ⇒ 6log 14 = a + 1
    b + 1
    Jawaban : C

Read more : Kumpulan Soal dan Pembahasan Logaritma.
  1. Persamaan grafik fungsi kuadrat yang mempunyai titik balik minimum (1,2) dan melalui titik (2,3) adalah ...
    1. y = x2 - 2x + 1
    2. y = x2 - 2x + 3
    3. y = x2 + 2x - 1
    4. y = x2 + 2x + 1
    5. y = x2 - 2x - 3

    Pembahasan : 
    Untuk menyusun fungsi kuadrat, ada beberapa kondisi khusus yang dapat kita perhatikan :
    1. Jika diketahui titik potong dengan sumbu x (x1, 0) dan (x2, 0)
      y = a(x − x1)(x − x2)

    2. Jika diketahui titik balik (p,q)
      y = a(x − p)2 + q

    Karena titik puncak berupa titik balik minimum diketahui, maka kita gunakan rumus kedua. Pada soal diketahui titik balik (p,q) = (1,2) maka :
    ⇒ y = a(x − p)2 + q
    ⇒ y = a(x − 1)2 + 2

    Karena melalui titik (2,3) maka diketahui x = 2 dan y = 3, sehingga :
    ⇒ y = a(x − 1)2 + 2
    ⇒ 3 = a(2 − 1)2 + 2
    ⇒ 3 = a + 2
    ⇒ a = 3 - 2
    ⇒ a = 1

    Jadi, persamaan grafik fungsi kuadrat tersebut adalah : 
    ⇒ y = a(x − 1)2 + 2
    ⇒ y = 1(x − 1)2 + 2
    ⇒ y = (x − 1)2 + 2
    ⇒ y = x2 − 2x + 1 + 2
    ⇒ y = x2 − 2x + 3
    Jawaban : B


Read more : Contoh Soal dan Jawaban Menentukan Persamaan Fungsi Kuadrat.
Kumpulan Rumus Eksponen

Kumpulan Rumus Eksponen

Eksponen merupakan salah satu topik matematika dasar yang fundamental karena konsep-konsep dalam eksponen sering dijumpai pada topik lainnya seperti persamaan kuadrat, logaritma, suku banyak, dan sebagainya. Eksponen atau bilangan berpangkat merupakan suatu bilangan dengan pangkat tertentu berupa pangkat positif, pangkat negatif, pangkat bulat dan pangkat pecahan. Konsep eksponen harus kita kuasai karena sangat banyak perhitungan-perhitungan dalam matematika yang melibatkan konsep eksponen misalnya mengubah bilangan berpangkat negatif ke dalam bentuk pangkat positif, mengubah bentuk akar menjadi pangkat, menyederhanakan bentuk bilangan, dan sebagainya.

Sifat dan Rumus Dasar Eksponen


Eksponen adalah bilangan berpangkat. Jika n adalah bilangan bulat positif maka bentuk umum eksponensial dapat dinyatakan sebagai berikut :
an = a x a x a x a ...... x a

Dengan :
a = bilangan pokok
n = bilangan pangkat

Arti notasi pangkat pada bentuk umum di atas (dibaca : a pangkat n) yaitu suatu bilangan pokok dikali dengan bilangan itu sendiri sebanyak n kali.
am x an = am + n
am  = am - n
an
(am)n = amn
(ab)m = am.bm
a0 = 1, dengan a ≠ 0
0n = 1, dengan n > 0
a-n = 1
an
am/n = m√an = (m√a)n
m√n√a = mn√a = a1/mn
a-1  = b
b-1a

Rumus di atas berlaku untuk setiap a, b bilangan real dan n, m bilangan bulat.
Read more : Cara Merasionalkan Penyebut.

Persamaan Eksponen


  1. af(x) = ag(x), maka f(x) = g(x)
  2. af(x) = bf(x), maka f(x) = 0
  3. af(x) = bg(x), maka f(x) log a = g(x) log b 
  4. f(x)g(x) = f(x)h(x), maka :
    1. f(x) = 1 
    2. f(x) = -1, syarat : g(x) dan h(x) keduanya genap/ganjil.
    3. f(x) = 0, syarat : g(x) > 0 dan h(x) > 0.
    4. g(x) = h(x)

  5. g(x)f(x) = h(x)f(x), maka :
    1. g(x) = h(x)
    2. f(x) = 0, syarat : g(x) ≠ 0 dan h(x) ≠ 0.

  6. f(x)g(x) = 1, maka :
    1. f(x) = 1
    2. g(x) = 0, syarat : f(x) ≠ 0
    3. f(x) = -1, syarat g(x) genap.

Read more : Pembahasan Sifat dan Rumus Persamaan Eksponen.

Pertidaksamaan Eksponen


Jika af(x) > ag(x) , maka berlaku aturan berikut :
  1. Jika 0 < a < 1 → f(x) < g(x)
  2. Jika a > 1 → f(x) > g(x)

Pembahasan Soal SBMPTN Fungsi Komposisi dan Invers 1

Pembahasan Soal SBMPTN Fungsi Komposisi dan Invers 1

  1. Diketahui fungsi berikut :
    f(x) = 1 - x
    x
    untuk setiap bilangan real x ≠ 0. Jika g : R → R adalah suatu fungsi sehingga (g o f)(x) = g(f(x)) = 2x + 1, maka fungsi invers g-1(x) sama dengan ....
    A. g-1(x) = x - 3
    x + 1
    B. g-1(x) = x - 3
    x - 1
    C. g-1(x) = x + 1
    x - 3
    D. g-1(x) = x - 3
    1 - x
    E. g-1(x) = x - 1
    3 - x

    Pembahasan :
    Diketahui : (g o f)(x) = g(f(x)) = 2x + 1
    Kita misalkan h = g o f

    Invers dari fungsi h :
    ⇒ h-1 = f-1 o g-1
    ⇒ f o h-1 = f o f-1 o g-1
    ⇒ f o h-1 = g-1

    Karena kita misalkan h = g o f, maka :
    ⇒ h(x) = g(f(x))
    ⇒ h(x) = 2x + 1
    ⇒ 2x = h(x) - 1
    ⇒ x = h(x) - 1
    2
    ⇒ h-1(x) = x - 1
    2

    Invers dari fungsi g 
    ⇒ g-1(x) = f(h-1(x))

    Substitusi nilai h-1(x) ke dalam fungsi f(x) sehingga :
    ⇒ g-1(x) = 1 - ((x-1)⁄2)
    (x-1)⁄2
    ⇒ g-1(x) = (2-x+1)⁄2
    (x-1)⁄2
    ⇒ g-1(x) = 2 - x + 1  .2
    2x - 1
    ⇒ g-1(x) = 3 - x
    x - 1
    ⇒ g-1(x) = x - 3
    1 - x
    Jawaban : D
  1. Diketahui fungsi-fungsi f dan g dengan f(x)g(x) = x2 - 3x untuk setiap bilangan real x. Jika g(1) = 2, f'(1) = f(1), dan g'(1) = f(1), maka g'(1) sama dengan ....
    A. 2D. -1
    B. 1E. -3
    C. 0

    Pembahasan :
    ⇒ f(x)g(x) = x2 - 3x

    Jika fungsi komposisi tersebut kita turunkan terhadap x, maka :
    ⇒  d f(x)g(x)   = d (x2 - 3x)
    dxdx

    Untuk menurunkan perkalian dua fungsi misal h(x) = u(x).v(x), maka kita gunakan rumus berikut :
    h'(x) = u'(x).v(x) + u(x).v'(x)

    Dengan :
    h'(x) = turunan fungsi h(x)
    u'(x) = turunan fungsi u(x)
    v'(x) = turunan fungsi v(x)

    Berdasarkan rumus di atas, maka kita peroleh :
    ⇒  d f(x)g(x)   = d (x2 - 3x)
    dxdx
    ⇒ f'(x).g(x) + f(x).g'(x) = 2x - 3

    Untuk x = 1
    ⇒ f '(1).g(1) + f(1).g'(1) = 2(1) - 3
    ⇒ f '(1).(2) + f(1).g'(1) = -1

    Karena f(1) = g'(1) dan f '(1) = f(1), maka :
    ⇒ f '(1).(2) + f(1).g'(1) = -1
    ⇒ f(1).(2) + f(1).f(1) = -1
    ⇒ 2 f(1) + {f(1)}2 = -1
    ⇒ {f(1)}2 + 2f(1) + 1 = 0

    Perhatikan bahwa bentuk di atas merupakan bentuk persamaan kuadrat.
    ⇒ {f(1)}2 + 2f(1) + 1 = 0
    ⇒ {f(1) + 1}2 = 0
    ⇒ f(1) = -1

    Karena nilai g'(1) = f(1), maka :
    ⇒ g'(1) = f(1)
    ⇒ g'(1) = -1
    Jawaban : D
Soal SBMPTN dan Jawaban Pertidaksamaan Trigonometri 1

Soal SBMPTN dan Jawaban Pertidaksamaan Trigonometri 1

  1. Jika 0 ≤ x ≤ π, maka himpunan penyelesaian pertidaksamaan cos x - sin 2x < 0 adalah ....
    1. {x| π⁄6 < x < π⁄2}
    2. {x| π⁄4 < x < π⁄3}
    3. {x| π⁄6 < x < π⁄2}∪{x| 5π⁄6 < x ≤ π}
    4. {x| π⁄6 < x < π⁄3}∪{x| 5π⁄6 < x ≤ π}
    5. {x| π⁄6 < x < π⁄2}∪{x| 5π⁄6 < x ≤ π}

    Pembahasan :
    Untuk menjawab soal di atas, maka kita perlu mengingat kembali rumus dasar atau identitas trigonometri berikut ini :
    sin 2x = 2 sin x. cos x

    Berdasarkan rumus di atas, maka bentuk pertidaksamaan di soal dapat disederhanakan menjadi :
    ⇒ cos x - sin 2x < 0
    ⇒ cos x - (2 sin x. cos x) < 0
    ⇒ cos x (1 - 2 sin x) < 0

    Sekarang kita lihat dulu penyelesaian untuk persamaan cos x (1 - 2 sin x) = 0 untuk mendapatkan x yang menghasilkan nilai nol. Setelah kita peroleh x pembuat nol, maka kita bisa memeriksa tanda pertidaksamaannya.

    Persamaan cos x (1 - 2 sin x) = 0 bisa bernilai nol jika salah satu faktor pengalinya bernilai nol. Jadi persamaan itu akan bernilai nol jika cos x = 0 atau (1 - 2 sin x) = 0.

    Untuk cos x = 0
    ⇒ cos x = 0
    ⇒ x = 90o atau x = 270o
    Karena 0 ≤ x ≤ π, maka 270o tidak memenuhi, sehingga :
    ⇒ x = 90o 
    ⇒ x = π⁄2

    Untuk (1 - 2 sin x) = 0
    ⇒ 1 - 2 sin x = 0
    ⇒ 2 sin x = 1
    ⇒ sin x = ½
    ⇒ x = 90o atau x = 150o
    Karena 0 ≤ x ≤ π, maka kedua nilai tersebut memenuhi, sehingga :
    ⇒ x = 90o atau x = 150o
    ⇒ x = π⁄6 atau x = 5π⁄6

    Untuk pertidaksamaannya, kita dapat menggunakan garis bilangan dan nilai uji. Karena nilai x pembuat nol adalah π⁄2,  π⁄6, dan 5π⁄6, maka kita bisa gunakan nilai uji x = 0, x = π⁄3, x = 2π⁄3, dan x = π.
    Nilai ujiSubstitusiHasil
    x = 0cos 0 (1 - 2 sin 0) = 1> 0
    x = π⁄3cos π⁄3 (1 - 2 sin π⁄3) = -0,36< 0
    x = 2π⁄3cos 2π⁄3 (1 - 2 sin 2π⁄3) = 0,36 > 0
    x = πcos π (1 - 2 sin π) = 0= 0

    Karena pertidaksamaannya adalah kurang dari (perhatikan cos x (1 - 2 sin x) < 0), maka nilai uji yang memenuhi adalah yang menghasilkan nilai kurang dari nol. Berdasarkan tabel di atas, maka HP-nya berada di antara π⁄6 dan π⁄2 atau 5π⁄6 dan π. Secara matematis dapat ditulis sebagai :
    ⇒ HP = {x| π⁄6 < x < π⁄2}∪{x| 5π⁄6 < x ≤ π}
    Jawaban : E
  1. Untuk 0 ≤ x ≤ 12, maka nilai x yang memenuhi pertidaksamaan cos πx⁄6 ≥ ½ adalah ....
    1. 0 ≤ x ≤ 3 atau 6 ≤ x ≤ 9
    2. 0 ≤ x ≤ 3 atau 6 ≤ x ≤ 12
    3. 2 ≤ x ≤ 4 atau 8 ≤ x ≤ 10
    4. 1 ≤ x ≤ 3 atau 9 ≤ x ≤ 11
    5. 0 ≤ x ≤ 2 atau 10 ≤ x ≤ 12

    Pembahasan :
    Dik : 0 ≤ x ≤ 12

    Kita tentukan dulu nilai x pembuat nol.
    ⇒ cos πx⁄6 = ½
    ⇒ cos πx⁄6 = cos π⁄3
    ⇒ πx⁄6 = π⁄3
    ⇒ π⁄6 x = 2π⁄6
    ⇒ x = 2

    Nilai x lainnya :
    ⇒ cos πx⁄6 = ½
    ⇒ cos πx⁄6 = cos 10π⁄6
    ⇒ πx⁄6 = 10π⁄6
    ⇒ π⁄6 x = 10π⁄6
    ⇒ x = 10

    Untuk menentukan HP pertidaksamaannya, kita gunakan nilai uji x = 0, x = 4, dan x = 12 dan substitusi ke cos πx⁄6.
    Nilai ujiSubstitusiHasil
    x = 0cos 0 = 1> 0
    x = 4cos 4π⁄6 = -0,5< 0
    x = 12cos 12π⁄6 = 1> 0

    Karena pertidaksamaannya lebih dari sama dengan (perhatikan cos πx⁄6 ≥ ½), maka nilai uji yang memenuhi adalah yang hasilnya lebih besar dari nol. Dengan demikian :
    ⇒ HP = {x| 0 ≤ x ≤ 2 atau 10 ≤ x ≤ 12}
    Jawaban : E
Langganan: Postingan (Atom)