Pembahasan Ujian Nasional Matematika 2008 No 11-15

11. Persamaan garis singgung melalui titik A(-2, -1) pada lingkaran x² + y² + 12x - 6y + 13 = 0 adalah ...
    1. -2x - y - 5 = 0
    2. x - y + 1 = 0
    3. x + 2y + 4 = 0
    4. 3x - 2y + 4 = 0
    5. 2x - y + 3 = 0

    
    Pembahasan :
    Persamaan lingkaran x² + y² + 12x - 6y + 13 = 0 dapat diubah ke dalam bentuk umum persamaan lingkaran dengan pusat (a, b) dan jari-jari R, yaitu :
    

    (x − a)2 + (y − b)2 = R2

    
    Jika diubah ke dalam bentuk tersebut, maka :
    ⇒ x² + y² + 12x - 6y + 13 = 0
    ⇒ (x² + 12x) + (y² - 6y) + 13 = 0
    ⇒ {(x + 6)² - 36} + {(y - 3)²  - 9} + 13 = 0
    ⇒ (x + 6)² + (y - 3)² - 36 - 9 + 13 = 0
    ⇒ (x + 6)² + (y - 3)² - 32 = 0
    ⇒ (x + 6)² + (y - 3)² = 32
    Diperoleh : a = -6, b = 3, R² = 32.
    
    Kita sudah memperoleh bentuk umum persamaan lingkarannya. Sekarang, kita tentukan persamaan garis singgungnya.
    
    Persamaan garis singgung yang melalui titik (x₁, y₁) pada lingkaran (x − a)² + (y − b)² = R² dapat ditentukan dengan rumus berikut :
    

    (x1 − a)(x − a) + (y1 − b)(y − b) = R2

    
    Dari soal diketahui garis singgung melalui titik A(-2, -1), maka x₁ = -2 dan y₁ = -1.
    ⇒ (x₁ − a)(x − a) + (y₁ − b)(y − b) = R²
    ⇒ (-2 − (-6))(x − (-6)) + (-1 − 3)(y − 3) = 32
    ⇒ (-2 + 6)(x + 6) + (-1 − 3)(y − 3) = 32
    ⇒ 4(x + 6) + {-4(y − 3)} = 32
    ⇒ 4x + 24 - 4y + 12 = 32
    ⇒ 4x - 4y + 36 = 32
    ⇒ 4x - 4y + 4 = 0
    ⇒ x - y + 1 = 0
    

    Jawaban : B

Read more : Soal dan Pembahasan Persamaan Garis Singgung Lingkaran.

12. Salah satu faktor suku banyak P(x) = x⁴ - 15x² - 10x + n adalah (x + 2). Faktor lainnya adalah ....

    A. x - 4	D. x - 6
    B. x + 4	E. x - 8
    C. x + 6

    
    Pembahasan :
    Karena salah satu faktor suku banyak sudah diketahui yaitu (x + 2), maka untuk mengetahui faktor yang lain, kita harus menentukan hasil baginya terlebih dahulu.
    
    Hasil bagi dapat kita tentukan dengan metode sintetik. Jika P(x) = x⁴ - 15x² - 10x + n dibagi (x + 2), maka :
    

    -2	1	0	-15	-10	n
    		-2	4	22	-24	+
    	1	-2	-11	12	n - 24

    Hasil bagi h(x) = x³ - 2x² - 11x + 12 dan sisa bagi s(x) = n - 24.
    
    Karena (x + 2) merupakan faktor suku banyak, maka sisa pembagiannya sama dengan nol. Pada metode di atas, kita peroleh sisa bagi n - 24. Maka nilai n adalah :
    ⇒ n - 24 = 0
    ⇒ n = 24
    
    Karena n = 24, maka persamaan suku banyaknya adalah :
    ⇒ P(x) = x⁴ - 15x² - 10x + 24
    
    Berdasarkan teorema sisa, hubungan suku banyak dengan hasil bagi dapat ditulis sebagai berikut :
    

    P(x) = h(x).g(x) + s(x)

    
    Dengan :
    P(x) = suku banyak
    h(x) = hasil bagi
    g(x) = pembagi
    s(x) = sisa bagi
    
    Berdasarkan teorema tersebut, maka kita peroleh :
    ⇒ P(x) = h(x).g(x) + s(x)
    ⇒ P(x) = x³ - 2x² - 11x + 12 (x + 2) + 0
    
    Untuk mengetahui faktor lainnya, kita dapat melihat persaman x³ - 2x² - 11x + 12 sebagai berikut :
    ⇒ P(x) = x³ - 2x² - 11x + 12 (x + 2)
    ⇒ P(x) = (x - 4)(x + 3)(x - 1)(x + 2)
    Jadi faktor lainnya adalah (x - 4), (x + 3), dan (x - 1).
    Jawaban : A

Read more : Soal dan Pembahasan Menentukan Faktor Suku Banyak.

13. Pada toko buku "murah", Adil membeli 4 buku, 2 pulpen dan 3 pensil dengan harga Rp 26.000,00. Bima membeli 3 buku, 3 pulpen dan 1 pensil dengan harga Rp 21.500,00. Citra membeli 3 buku dan 1 pensil dengan harga Rp 12.500,00. Jika Dina membeli 2 pulpen dan 2 pensil, maka ia harus membayar ...
    1. Rp 5.000,00
    2. Rp 6.500,00
    3. Rp 10.000,00
    4. Rp 11.000,00
    5. Rp 13.000,00

    
    Pembahasan :
    Untuk mempermudah, kita bisa lakukan pemisalan sebagai berikut :
    ⇒ Harga 1 buku = B
    ⇒ Harga 1 pulpen = P
    ⇒ Harga 1 pensil = L
    
    Jika ditulis dalam bentuk persamaan matematika, maka soal di atas dapat ditulis dalam sistem persamaan sebgai berikut :
    ⇒ 4B + 2P + 3L = 26.000 ....(1)
    ⇒ 3B + 3P + L = 21.500 ....(2)
    ⇒ 3B + L = 12.500 ....(3)
    
    Dari persamaan (2) dan (3) :
    

    3B + 3P + L = 21.500
    3B         + L = 12.500	-
    3P = 9.000
    P = 3.000

    
    Substitusi nilai P ke persamaan (1) :
    ⇒ 4B + 2P + 3L = 26.000
    ⇒ 4B + 2(3000) + 3L = 26.000
    ⇒ 4B + 3L = 20.000 ....(4)
    
    Substitusi nilai P ke persamaan (2) :
    ⇒ 3B + 3P + L = 21.500
    ⇒ 3B + 3(3000) + L = 21.500
    ⇒ 3B + L = 12.500 ....(5)
    
    Dari persamaan (4) dan (5) :
    

    4B + 3L = 20.000	|x 1|
    3B + L = 12.500	|x 3|

    
    

    4B + 3L = 20.000
    9B + 3L = 37.500	-
    -5B = -17.500
    B = 3.500

    
    Substitusi nilai B ke persamaan (5) :
    ⇒ 3B + L = 12.500
    ⇒ 3(3.500) + L = 12.500
    ⇒ L = 2.000
    
    Karena Dina membeli 2 pulpen dan 2 pensil, maka uang yang harus ia keluarkan adalah :
    ⇒ 2P + 2L = 2(3000) + 2(2000)
    ⇒ 2P + 2L = 6.000 + 4.000
    ⇒ 2P + 2L = 10.000,00
    Jadi, Dina harus membayar Rp 10.000,00
    

    Jawaban : C

Read more : Gradien dan Persamaan Garis Linear.

14. Daerah yang diarsir pada gambar di bawah merupakan himpunan penyelesaian suatu sistem pertidaksamaan linear.
    
    Nilai maksimum dari f(x,y) = 7x + 6y adalah ....
    

    A. 88	D. 106
    B. 94	E. 196
    C. 102

    
    Pembahasan :
    Untuk menyelesaikan soal di atas, kita harus menentukan titik potong antar kedua garis. Titik potong tersebut dapat kita tentukan dengan menentukan persamaan garisnya terlebih dahulu.
    
    Untuk menentukan persamaan garis jika grafiknya diketahui dapat digunakan rumus berikut :
    

    ax + by = ab

    
    
    Dengan menggunakan metode tersebut, maka diperoleh persamaan kedua garis, yaitu :
    Garis 1 → 20x + 12y = 240 → 5x + 3y = 60.
    Garis 2 → 15x + 18y = 270 → 5x + 6y = 90.
    
    Dari gambar di atas, ada tiga titik yang memungkinkan untuk memperoleh nilai maksimum yaitu tiik A, B, dan C. Titik A dan C dapat kita tentukan dengan melihat gambar yaitu A(0, 15) dan C(12, 0).
    
    Titik B merupakan titik potong antara garis 1 dan garis 2 :
    

    5x + 3y = 60
    5x + 6y = 90	-
    -3y = -30
    y = 10

    
    Substitusi nilai y ke persamaan garis 1 :
    ⇒ 5x + 3y = 60
    ⇒ 5x + 30 = 60
    ⇒ 5x = 30
    ⇒ x = 6
    Jadi, titik B(6, 10)
    
    Untuk mengetahu nilai maksimum fungsi tujuan f(x,y) = 7x + 6y, maka subsitusikan masing-masing titik sebagai berikut :
    

    Titik Pojok	f(x,y) = 7x + 6y
    A(0, 15)	80
    B(6, 10)	102 → maksimum
    C(12, 0)	84

    
    Jadi, nilai maksimumnya adalah 102.
    

    Jawaban : C

Read more : Menyusun Sistem Pertidaksamaan Linear Jika Grafiknya Diketahui.

15. Seorang pembuat kue mempunyai 4 kg gula dan 9 kg tepung. Untuk membuat sebuah kue jenis A dibutuhkan 20 gram gula dan 60 gram tepung, sedangkan untuk membuat sebuah kue jenis B dibutuhkan 20 gram gula dan 40 gram tepung. Jika kue A dijual dengan harga Rp 4.000,00/buah dan kue B dijual dengan harga Rp 3.000,00/buah, maka pendapatan maksimum yang dapat diperoleh pembuat kue tersebut adalah ...
    1. Rp 600.000,00
    2. Rp 650.000,00
    3. Rp 700.000,00
    4. Rp 750.000,00
    5. Rp 800.000,00

    
    Pembahasan :
    

    	A	B	Stok
    Gula	20	20	4.000
    Tepung	60	40	9.000

    
    Berdasarkan tabel tersebut, maka model matematika untuk soal tersebut adalah :
    ⇒ 20x + 20y ≤ 4.000 → x + y ≤ 200
    ⇒ 60x + 40y ≤ 9.000 → 3x + 2y ≤ 450
    ⇒ x ≥ 0, y ≥ 0
    ⇒ Fungsi tujuan f(x,y) = 4.000x + 3.000y
    
    
    
    Dari grafik di atas jelas terlihat ada tiga titik pojok yang memungkinkan nilai maksimum, yaitu A, B dan C. Titik A dan C berturut-turut adalah (0, 200) dan (150, 0).
    
    Titik B merupakan tiitk potong kedua garis :
    

    x + y = 200	|x 2|
    3x + 2y = 450	|x 1|

    
    

    2x + 2y = 400
    3x + 2y = 450	-
    -x = -50
    x = 50

    
    Substitusi nilai x ke persamaan garis 1 :
    ⇒ x + y = 200
    ⇒ 50 + y = 200
    ⇒ y = 150
    Jadi titik B(50, 150)
    
    Pendapatan maksimum :
    

    Titik Pojok	f(x,y) = 4.000x + 3.000y
    A(0, 200)	600.000
    B(50, 150)	650.000 → maksimum
    C(150, 0)	600.000

    
    Jadi, pendapatan maksimumnya adalah Rp 650.000,00.
    Jawaban : B

Read more : Menentukan Nilai Maksimum Fungsi Objektif Pertidaksamaan Linear.

vlajarmoeda Komentar

Related Posts

Pembahasan Ujian Nasional Matematika 2008 No 11-15

4/ 5

Oleh vlajarmoeda