Home / PEMBAHASAN SBMPTN MATEMATIKA
Tampilkan postingan dengan label PEMBAHASAN SBMPTN MATEMATIKA. Tampilkan semua postingan
Tampilkan postingan dengan label PEMBAHASAN SBMPTN MATEMATIKA. Tampilkan semua postingan
Pembahasan Soal SBMPTN Fungsi Komposisi dan Invers 1

Pembahasan Soal SBMPTN Fungsi Komposisi dan Invers 1

  1. Diketahui fungsi berikut :
    f(x) = 1 - x
    x
    untuk setiap bilangan real x ≠ 0. Jika g : R → R adalah suatu fungsi sehingga (g o f)(x) = g(f(x)) = 2x + 1, maka fungsi invers g-1(x) sama dengan ....
    A. g-1(x) = x - 3
    x + 1
    B. g-1(x) = x - 3
    x - 1
    C. g-1(x) = x + 1
    x - 3
    D. g-1(x) = x - 3
    1 - x
    E. g-1(x) = x - 1
    3 - x

    Pembahasan :
    Diketahui : (g o f)(x) = g(f(x)) = 2x + 1
    Kita misalkan h = g o f

    Invers dari fungsi h :
    ⇒ h-1 = f-1 o g-1
    ⇒ f o h-1 = f o f-1 o g-1
    ⇒ f o h-1 = g-1

    Karena kita misalkan h = g o f, maka :
    ⇒ h(x) = g(f(x))
    ⇒ h(x) = 2x + 1
    ⇒ 2x = h(x) - 1
    ⇒ x = h(x) - 1
    2
    ⇒ h-1(x) = x - 1
    2

    Invers dari fungsi g 
    ⇒ g-1(x) = f(h-1(x))

    Substitusi nilai h-1(x) ke dalam fungsi f(x) sehingga :
    ⇒ g-1(x) = 1 - ((x-1)⁄2)
    (x-1)⁄2
    ⇒ g-1(x) = (2-x+1)⁄2
    (x-1)⁄2
    ⇒ g-1(x) = 2 - x + 1  .2
    2x - 1
    ⇒ g-1(x) = 3 - x
    x - 1
    ⇒ g-1(x) = x - 3
    1 - x
    Jawaban : D
  1. Diketahui fungsi-fungsi f dan g dengan f(x)g(x) = x2 - 3x untuk setiap bilangan real x. Jika g(1) = 2, f'(1) = f(1), dan g'(1) = f(1), maka g'(1) sama dengan ....
    A. 2D. -1
    B. 1E. -3
    C. 0

    Pembahasan :
    ⇒ f(x)g(x) = x2 - 3x

    Jika fungsi komposisi tersebut kita turunkan terhadap x, maka :
    ⇒  d f(x)g(x)   = d (x2 - 3x)
    dxdx

    Untuk menurunkan perkalian dua fungsi misal h(x) = u(x).v(x), maka kita gunakan rumus berikut :
    h'(x) = u'(x).v(x) + u(x).v'(x)

    Dengan :
    h'(x) = turunan fungsi h(x)
    u'(x) = turunan fungsi u(x)
    v'(x) = turunan fungsi v(x)

    Berdasarkan rumus di atas, maka kita peroleh :
    ⇒  d f(x)g(x)   = d (x2 - 3x)
    dxdx
    ⇒ f'(x).g(x) + f(x).g'(x) = 2x - 3

    Untuk x = 1
    ⇒ f '(1).g(1) + f(1).g'(1) = 2(1) - 3
    ⇒ f '(1).(2) + f(1).g'(1) = -1

    Karena f(1) = g'(1) dan f '(1) = f(1), maka :
    ⇒ f '(1).(2) + f(1).g'(1) = -1
    ⇒ f(1).(2) + f(1).f(1) = -1
    ⇒ 2 f(1) + {f(1)}2 = -1
    ⇒ {f(1)}2 + 2f(1) + 1 = 0

    Perhatikan bahwa bentuk di atas merupakan bentuk persamaan kuadrat.
    ⇒ {f(1)}2 + 2f(1) + 1 = 0
    ⇒ {f(1) + 1}2 = 0
    ⇒ f(1) = -1

    Karena nilai g'(1) = f(1), maka :
    ⇒ g'(1) = f(1)
    ⇒ g'(1) = -1
    Jawaban : D
Soal SBMPTN dan Jawaban Pertidaksamaan Trigonometri 1

Soal SBMPTN dan Jawaban Pertidaksamaan Trigonometri 1

  1. Jika 0 ≤ x ≤ π, maka himpunan penyelesaian pertidaksamaan cos x - sin 2x < 0 adalah ....
    1. {x| π⁄6 < x < π⁄2}
    2. {x| π⁄4 < x < π⁄3}
    3. {x| π⁄6 < x < π⁄2}∪{x| 5π⁄6 < x ≤ π}
    4. {x| π⁄6 < x < π⁄3}∪{x| 5π⁄6 < x ≤ π}
    5. {x| π⁄6 < x < π⁄2}∪{x| 5π⁄6 < x ≤ π}

    Pembahasan :
    Untuk menjawab soal di atas, maka kita perlu mengingat kembali rumus dasar atau identitas trigonometri berikut ini :
    sin 2x = 2 sin x. cos x

    Berdasarkan rumus di atas, maka bentuk pertidaksamaan di soal dapat disederhanakan menjadi :
    ⇒ cos x - sin 2x < 0
    ⇒ cos x - (2 sin x. cos x) < 0
    ⇒ cos x (1 - 2 sin x) < 0

    Sekarang kita lihat dulu penyelesaian untuk persamaan cos x (1 - 2 sin x) = 0 untuk mendapatkan x yang menghasilkan nilai nol. Setelah kita peroleh x pembuat nol, maka kita bisa memeriksa tanda pertidaksamaannya.

    Persamaan cos x (1 - 2 sin x) = 0 bisa bernilai nol jika salah satu faktor pengalinya bernilai nol. Jadi persamaan itu akan bernilai nol jika cos x = 0 atau (1 - 2 sin x) = 0.

    Untuk cos x = 0
    ⇒ cos x = 0
    ⇒ x = 90o atau x = 270o
    Karena 0 ≤ x ≤ π, maka 270o tidak memenuhi, sehingga :
    ⇒ x = 90o 
    ⇒ x = π⁄2

    Untuk (1 - 2 sin x) = 0
    ⇒ 1 - 2 sin x = 0
    ⇒ 2 sin x = 1
    ⇒ sin x = ½
    ⇒ x = 90o atau x = 150o
    Karena 0 ≤ x ≤ π, maka kedua nilai tersebut memenuhi, sehingga :
    ⇒ x = 90o atau x = 150o
    ⇒ x = π⁄6 atau x = 5π⁄6

    Untuk pertidaksamaannya, kita dapat menggunakan garis bilangan dan nilai uji. Karena nilai x pembuat nol adalah π⁄2,  π⁄6, dan 5π⁄6, maka kita bisa gunakan nilai uji x = 0, x = π⁄3, x = 2π⁄3, dan x = π.
    Nilai ujiSubstitusiHasil
    x = 0cos 0 (1 - 2 sin 0) = 1> 0
    x = π⁄3cos π⁄3 (1 - 2 sin π⁄3) = -0,36< 0
    x = 2π⁄3cos 2π⁄3 (1 - 2 sin 2π⁄3) = 0,36 > 0
    x = πcos π (1 - 2 sin π) = 0= 0

    Karena pertidaksamaannya adalah kurang dari (perhatikan cos x (1 - 2 sin x) < 0), maka nilai uji yang memenuhi adalah yang menghasilkan nilai kurang dari nol. Berdasarkan tabel di atas, maka HP-nya berada di antara π⁄6 dan π⁄2 atau 5π⁄6 dan π. Secara matematis dapat ditulis sebagai :
    ⇒ HP = {x| π⁄6 < x < π⁄2}∪{x| 5π⁄6 < x ≤ π}
    Jawaban : E
  1. Untuk 0 ≤ x ≤ 12, maka nilai x yang memenuhi pertidaksamaan cos πx⁄6 ≥ ½ adalah ....
    1. 0 ≤ x ≤ 3 atau 6 ≤ x ≤ 9
    2. 0 ≤ x ≤ 3 atau 6 ≤ x ≤ 12
    3. 2 ≤ x ≤ 4 atau 8 ≤ x ≤ 10
    4. 1 ≤ x ≤ 3 atau 9 ≤ x ≤ 11
    5. 0 ≤ x ≤ 2 atau 10 ≤ x ≤ 12

    Pembahasan :
    Dik : 0 ≤ x ≤ 12

    Kita tentukan dulu nilai x pembuat nol.
    ⇒ cos πx⁄6 = ½
    ⇒ cos πx⁄6 = cos π⁄3
    ⇒ πx⁄6 = π⁄3
    ⇒ π⁄6 x = 2π⁄6
    ⇒ x = 2

    Nilai x lainnya :
    ⇒ cos πx⁄6 = ½
    ⇒ cos πx⁄6 = cos 10π⁄6
    ⇒ πx⁄6 = 10π⁄6
    ⇒ π⁄6 x = 10π⁄6
    ⇒ x = 10

    Untuk menentukan HP pertidaksamaannya, kita gunakan nilai uji x = 0, x = 4, dan x = 12 dan substitusi ke cos πx⁄6.
    Nilai ujiSubstitusiHasil
    x = 0cos 0 = 1> 0
    x = 4cos 4π⁄6 = -0,5< 0
    x = 12cos 12π⁄6 = 1> 0

    Karena pertidaksamaannya lebih dari sama dengan (perhatikan cos πx⁄6 ≥ ½), maka nilai uji yang memenuhi adalah yang hasilnya lebih besar dari nol. Dengan demikian :
    ⇒ HP = {x| 0 ≤ x ≤ 2 atau 10 ≤ x ≤ 12}
    Jawaban : E
Soal dan Pembahasan SBMPTN Pertidaksamaan Harga Mutlak 3

Soal dan Pembahasan SBMPTN Pertidaksamaan Harga Mutlak 3

  1. Nilai-nilai x yang memenuhi pertidaksamaan
    |x - 2| ≥ √2x + 20 adalah ....
    1. -∞ < x ≤ -2 atau 2 ≤ x < 10
    2. -∞ < x ≤ -2 atau 2 ≤ x < ∞
    3. -∞ < x ≤ -2 atau 8 ≤ x < ∞
    4. -10 < x ≤ 2 atau 8 ≤ x < ∞
    5. -10 < x ≤ -2 atau 8 ≤ x < ∞

    Pembahasan :
    Syarat pertama yang harus kita tinjau adalah syarat dalam akar yaitu untuk √2x + 20. Agar bernilai real dan dapat dinyatakan, maka syarat dalam akar adalah :
    ⇒ 2x + 20 ≥ 0
    ⇒ 2x ≥ -20
    ⇒ x ≥ -10

    Selanjutnya kita cari nilai x yang membuat persamaan menjadi bernilai nol.
    Untuk |x - 2| > 0
    ⇒ |x - 2| ≥ √2x + 20
    ⇒ x - 2 ≥ √2x + 20
    ⇒ (x - 2)2 ≥2x + 20
    ⇒ x2 - 4x + 4 ≥ 2x + 20
    ⇒ x2 - 6x - 16 ≥ 0
    ⇒ (x - 8)(x + 2) ≥ 0
    ⇒ x = 8 atau x = -2

    Untuk pertidaksamaan, maka kita gunakan nilai uji dan garis bilangan. Karena nilai x pembuat nol adalah -2 atau 8, maka nilai uji yang dapat kita gunakan antara lain x = -3, x = 0, dan x = 9.
    Nilai ujiSubstitusiHasil
    x = -3(-3 - 8)(-3 + 2) = 11> 0
    x = 0(0 - 8)(0 + 2) = -16< 0
    x = 9(9 - 8)(9 + 2) = 11> 0

    Karena pertidaksamaannya lebih besar sama dengan (≥), maka nilai uji yang memenuhi adalah yang menghasilkan nilai lebih dari nol. Dengan demikian penyelesaiannya adalah :
    ⇒ HP = {x| -∞ < x ≤ -2 atau 8 ≤ x < ∞}

    Untuk |x - 2| < 0
    ⇒ |x - 2| ≥ √2x + 20
    ⇒ -(x - 2) ≥ √2x + 20
    ⇒ {-(x - 2)}2 ≥2x + 20
    ⇒ x2 - 4x + 4 ≥ 2x + 20
    ⇒ x2 - 6x - 16 ≥ 0
    ⇒ (x - 8)(x + 2) ≥ 0
    ⇒ x = 8 atau x = -2.
    Karena sama dengan persamaan sebelumnya, maka penyelesaiannya juga sama yaitu :
    ⇒ HP = {x| -∞ < x ≤ -2 atau 8 ≤ x < ∞}

    Karena berdasarkan syarat akar, nilai x harus lebih besar dari -10, maka nilai x > -∞ tidak memenuhi karena sudah dibatasi sampai -10 saja. Dengan demikian, nilai-nilai x yang memenuhi penyelesaian dan syarat akar di atas adalah :
    ⇒ -10 < x ≤ 2 atau 8 ≤ x < ∞
    Jawaban : D
  1. Himpunan penyelesaian |x2 - 2| ≤ 1 adalah himpunan nilai x yang memenuhi ....
    1. -√3 ≤ x ≤ √3
    2. -1 ≤ x ≤ 1
    3. -1 ≤ x ≤ √3
    4. x ≤ -1 atau x ≥ 1
    5. -√3 ≤ x ≤ -1 atau 1 ≤ x ≤ √3

    Pembahasan :
    Ingat konsep pertidaksamaan mutlak berikut ini :
    |x| ≤ a, maka -a ≤ x ≤ a, a > 0

    Berdasarkan konsep tersebut
    ⇒ |x2 - 2|  ≤ 1
    ⇒ -1 ≤ x2 - 2 ≤ 1
    ⇒ 1 ≤ x2 ≤ 3
    ⇒ x = ±1 atau x = ±√3

    Selanjutnya untuk menentukan tanda pertidaksamaannya.
    Untuk x = ±1
    Kita gunakan nilai uji x = -2, x = 0, x = 2
    Nilai ujiSubstitusiHasil
    x = -2(-2)2 - 2 = 2> 0
    x = 002 - 2 = -2< 0
    x = 222 - 2 = 2> 0

    Karena pertidaksamaannya lebih besar sama dengan (perhatikan x2 - 2 ≥ -1), maka yang memenuhi adalah nilai uji yang menghasilkan nilai lebih besar dari nol. Nilai x = 2 > -1 sedangkan nilai x = -2 < -1. Dengan demikian :
    ⇒ HP = {x| x ≥ 1 atau x ≤ -1} ......(1)

    Untuk x = ±√3,
    Kita gunakan nilai uji x = -2, x = 0, x = 2
    Nilai ujiSubstitusiHasil
    x = -2(-2)2 - 2 = 2> 0
    x = 002 - 2 = -2< 0
    x = 222 - 2 = 2> 0

    Karena pertidaksamaannya lebih kecil sama dengan (perhatikan x2 - 2 ≤ 1), maka yang memenuhi adalah nilai uji yang menghasilkan nilai lebih kecil dari nol. Nilai x = 0 berada di antara -√3 dan √3. Dengan demikian :
    ⇒ HP = {x| -√3 ≤ x ≤ √3} ......(2)

    Berdasarkan HP (1) dan (2), maka himpunan penyelesaian untuk pertidaksamaan tersebut adalah :
    ⇒ HP = {x| -√3 ≤ x ≤ -1 atau 1 ≤ x ≤ √3}
    Jawaban E

Pembahasan Soal SBMPTN Pertidaksamaan Logaritma 1

Pembahasan Soal SBMPTN Pertidaksamaan Logaritma 1

  1. Himpunan penyeleasaian pertidaksamaan 2 log (x - 2) ≤ log (2x - 1) adalah ....
    1. {x| -1 ≤ x ≤ 5}
    2. {x| 2 < x ≤ 5}
    3. {x| -2 < x ≤ 3 atau x ≥ 5}
    4. {x| x ≥ 5}
    5. {x| 2 < x ≤ 5/2}

    Pembahasan :
    ⇒ 2 log (x - 2) ≤ log (2x - 1)
    ⇒ log (x - 2)2 ≤ log (2x - 1)

    Syarat utama yang harus kita perhatikan adalah syarat berdasarkan prinsip logaritma. Sesuai dengan konsep dasar logaritma, bilangan yang dilogaritmakan harus lebih besar dari nol. Dengan demikian kita harus tinjau syarat yang berlaku pada bilangan yang dilogaritmakan terlebih dahulu yaitu (x - 2) dan (2x - 1).

    Untuk log (x - 2)
    ⇒ x - 2 > 0
    ⇒ x > 2

    Untuk log (2x - 1)
    ⇒ 2x - 1 > 0
    ⇒ 2x > 1
    ⇒ x > ½

    Berdasarkan dua syarat tersebut, maka nilai x yang memenuhi pertidaksamaan tersebut salah satunya adalah x > 2.

    Selanjutnya, kita tinjau penyelesaian untuk pertidaksamaan tersebut.
    ⇒ log (x - 2)2 ≤ log (2x - 1)
    ⇒ (x - 2)2 ≤ (2x - 1)
    ⇒ x2 - 4x + 4 ≤ 2x - 1
    ⇒ x2 - 4x + 4 - 2x + 1 ≤ 0
    ⇒ x2 - 6x + 5 ≤ 0
    ⇒ (x - 5)(x - 1) ≤ 0
    ⇒ x = 5 atau x = 1

    Untuk melihat penyelesaian pertidaksamaannya, maka kita dapat menggunakan garis bilangan dan nilai uji. Karena nilai x patokan (pembuat nol) adalah 5 dan 1, maka kita dapat gunakan nilai uji x = 0, x = 3, dan x = 6.
    Nilai ujiSubstitusiHasil
    x = 0(0 - 5)(0 - 1) = 5> 0
    x = 3(3 - 5)(3 - 1) = -4< 0
    x = 6(6 - 5)(6 - 1) = 5> 0

    Karena yang kita cari adalah pertidaksamaan kurang dari sama dengan (≤), maka nilai uji yang memenuhi adalah nilai uji yang menghasilkan nilai negatif atau kurang dari nol. Dengan demikian, himpunan penyelesaiannya terletak di antara 1 dan 5.
    ⇒ HP = {x| 1 ≤ x ≤ 5}

    Karena syarat utama berdasarkan konsep logaritma adalah x > 2, maka himpunan penyelesaian untuk pertidaksamaan logaritma tersebut adalah :
    ⇒ HP = {x| 2 < x ≤ 5}
    Jawaban : B
  1. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan log (x + 3) + 2 log 2 > log x2 adalah ....
    1. {x| -3 < x < 0}
    2. {x| -2 < x < 0}∪{x| 0 < x < 6}
    3. {x| -2 < x < 6}
    4. {x| -3 < x < -2}∪{x| x < 6}
    5. {x| x < -2}∪{x| x > 6}

    Pembahasan :
    Sama seperti soal nomor 1, kita harus melihat syarat utama logaritma dari soal tersebut.

    Untuk log (x + 3)
    ⇒ x + 3 > 0
    ⇒ x > -3

    Untuk log x2
    ⇒ x2 > 0
    ⇒ x ≠ 0

    Selanjutnya kita cari penyelesaian pertidaksamaan :
    ⇒ log (x + 3) + 2 log 2 > log x2
    ⇒ log (x + 3) + log 22 > log x2
    ⇒ log (x + 3) + log 4 > log x2
    ⇒ log 4(x + 3) > log x2
    ⇒ 4(x + 3) > x2
    ⇒ x2 - 4(x + 3) < 0
    ⇒ x2 - 4x - 12 < 0
    ⇒ (x - 6)(x + 2) < 0
    ⇒ x = 6 atau x = -2

    Untuk pertidaksamaannya, maka gunakan nilai uji atau garis bilangan. Karena nilai x pembuat nol adalah -2 dan 6, maka nilai uji yang dapat kita gunakan antara lain x = -3, x = 0, dan x = 7.
    Nilai ujiSubstitusiHasil
    x = -3(-3 - 6)(-3 + 2) = 9> 0
    x = 0(0 - 6)(0 + 2) = -12< 0
    x = 7(7 - 6)(7 + 2) = 9> 0

    Karena yang kita cari adalah pertidaksamaan kurang dari (<), maka nilai uji yang memenuhi adalah nilai uji yang menghasilkan nilai negatif atau kurang dari nol. Dengan demikian, himpunan penyelesaiannya terletak di antara -2 dan 6.
    ⇒ HP = {x| -2 < x < 6}

    Karena syarat logaritma x > -3 dan x ≠ 0, maka kita harus melihat penyelesaian gabungan dari syarat-syarat yang telah kita peroleh. Irisan dari ketiga penyelesaian tersebut adalah :
    ⇒ HP = {x| -2 < x < 0}∪{x| 0 < x < 6}
    Jawaban : B
Soal dan Jawaban SBMPTN Pertidaksamaan Mutlak 2

Soal dan Jawaban SBMPTN Pertidaksamaan Mutlak 2

  1. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan |x2 - 2| - 6 + 2x < 0 adalah ....
    1. {x| -4 < x < 3}
    2. {x| x < 3}
    3. {x| x > -4}
    4. {x| -4 < x < 2}
    5. {x| x < 2}

    Pembahasan :
    Jika ada suatu suku atau variabel yang mengandung tanda nilai mutlak, maka ada dua nilai yang harus kita selediki yaitu untuk yang lebih besar dari nol dan untuk yang kurang dari nol.

    Untuk |x2 - 2| > 0
    ⇒ |x2 - 2| - 6 + 2x < 0
    ⇒ x2 - 2 - 6 + 2x < 0
    ⇒ x2 + 2x - 8 < 0
    ⇒ (x + 4)(x - 2) < 0
    ⇒ x = -4 atau x = 2

    Untuk mengetahui penyelesaian pertidaksamaan kurang dari, maka kita dapat menggunakan garis bilangan dan nilai uji sebagai alat bantu. Karena nilai x patokannya adalah -4 dan 2, maka kita bisa ambil nilai uji x = -5, x = 0, dan x = 3.
    Nilai ujiSubstitusiHasil
    x = -5(-5 + 4)(-5 - 2) = 7> 0
    x = 0(0 + 4)(0 - 2) = -8< 0
    x = 3(3 + 4)(3 - 2) = 7> 0

    Karena pertidaksamaan pada soal adalah kurang dari (< 0), maka nilai uji yang memenuhi adalah yang hasilnya negatif atau kurang dari nol. Dengan demikian himpunan penyelesaian untuk pertidaksamaan tersebut terletak antara -4 dan 2.
    ⇒ HP = {x| -4 < x < 2}

    Untuk |x2 - 2| < 0
    ⇒ |x2 - 2| - 6 + 2x < 0
    ⇒ -(x2 - 2) - 6 + 2x < 0
    ⇒ -x2 + 2 - 6 + 2x < 0
    ⇒ -x2 + 2x - 4 < 0
    Karena a pada persamaan kuadrat -x2 + 2x - 4 = 0 bernilai kurang dari nol, maka pertidaksamaan tersebut merupakan definit negatif dan akarnya imajiner karena diskriminannya negatif.
    ⇒ x1,2 = -b ± √b2 - 4ac
    2a
    ⇒ x1,2 = -2 ± √(2)2 - 4(-1)(-4)
    2(-1)
    ⇒ x1,2 = -2 ± √-12
    -2
    (Akar imajiner)

    Dengan demikian, himpunan penyelesaian untuk pertidaksamaan |x2 - 2| - 6 + 2x < 0 adalah :
    ⇒ {x| -4 < x < 2}
    Jawaban : D
  1. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan |x2 + 5x| ≤ 6 adalah ....
    1. {x| -6 ≤ x ≤ 1}
    2. {x| -3 ≤ x ≤ -2}
    3. {x| -6 ≤ x ≤ -3 atau -2 ≤ x ≤ 1}
    4. {x| -6 ≤ x ≤ -5 atau 0 ≤ x ≤ 1}
    5. {x| -5 ≤ x ≤ -3 atau -2 ≤ x ≤ 0}

    Pembahasan :
    Sama dengan soal nomor 1 kita tinjau masing-masing nilai yang lebih besar dari nol dan kurang dari nol untuk kemudian dilihat penyelesaian gabungannya, sebagai berikut :

    Untuk |x2 + 5x| > 0
    ⇒ |x2 + 5x| ≤ 6
    ⇒ x2 + 5x ≤ 6
    ⇒ x2 + 5x - 6 ≤ 0
    ⇒ (x + 6)(x - 1) ≤ 0
    ⇒ x = -6 atau x = 1

    Untuk mengetahui penyelesaian pertidaksamaan kurang dari sama dengan (≤), maka kita dapat menggunakan garis bilangan dan nilai uji sebagai alat bantu. Karena nilai x patokannya adalah -6 dan 1, maka kita bisa ambil nilai uji x = -7, x = 0, dan x = 2.
    Nilai ujiSubstitusiHasil
    x = -7(-7 + 6)(-7 - 1) = 8> 0
    x = 0(0 + 6)(0 - 1) = -6< 0
    x = 2(2 + 6)(2 - 1) = 8> 0

    Karena pertidaksamaan pada soal adalah kurang dari sama dengan (≤), maka nilai uji yang memenuhi adalah yang hasilnya negatif atau kurang dari nol. Dengan demikian himpunan penyelesaian untuk pertidaksamaan tersebut terletak antara -6 dan 1.
    ⇒ HP = {x| -6 ≤ x ≤ 1}

    Untuk |x2 + 5x| < 0
    ⇒ |x2 + 5x| ≤ 6
    ⇒ -(x2 + 5x) ≤ 6
    ⇒ -x2 - 5x ≤ 6
    ⇒ x2 + 5x ≥ -6
    ⇒ x2 + 5x + 6 ≥ 0
    ⇒ (x + 3)(x + 2) ≥ 0
    ⇒ x = -3 atau x = -2

    Untuk mengetahui penyelesaian pertidaksamaan lebih dari sama dengan (≥), maka kita dapat menggunakan garis bilangan dan nilai uji sebagai alat bantu. Karena nilai x patokannya adalah -3 dan -2, maka kita bisa ambil nilai uji x = -4, x = -2,5 dan x = -1.
    Nilai ujiSubstitusiHasil
    x = -4(-4 + 3)(-4 + 2) = 2> 0
    x = -2,5(-2,5 + 3)(-2,5 + 2) = -0,25< 0
    x = -1(-1 + 3)(-1 + 2) = 2> 0

    Karena pertidaksamaan pada soal adalah lebih dari sama dengan (≥), maka nilai uji yang memenuhi adalah yang hasilnya positif atau lebih dari nol. Dengan demikian himpunan penyelesaian untuk pertidaksamaan tersebut adalah :
    ⇒ HP = {x| x ≤ -3 atau x ≥ -2}

    Himpunan penyelesaian gabungannya adalah :
    ⇒ HP = {x| -6 ≤ x ≤ -3 atau -2 ≤ x ≤ 1}
    Jawaban : C

Pembahasan Soal SBMPTN Pertidaksamaan Harga Mutlak 1

  1. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan x2 - |x| ≤ 6 adalah ....
    1. {x| -2 ≤ x ≤ 3}
    2. {x| -3 ≤ x ≤ 2}
    3. {x| -2 ≤ x ≤ 2}
    4. {x| -3 ≤ x ≤ 3}
    5. {x| 0 ≤ x ≤ 3}

    Pembahasan :
    Harga mutlak |x| mengandung dua nilai yaitu x dan -x. Oleh karena itu, kita harus meninjau syarat-syarat untuk masing-masing nilai x kemudian menentukan himpunan penyelesaian gabungannya.

    Untuk x > 0 (|x| = x)
    ⇒ x2 - |x| ≤ 6
    ⇒ x2 - x ≤ 6
    ⇒ x2 - x - 6 ≤ 0
    ⇒ (x - 3)(x + 2) ≤ 0
    ⇒ x = 3 atau x = -2

    Untuk mengetahui HP yang benar, maka kita dapat menggunakan garis bilangan dan tiga titik uji yang mewakili daerah penyelesaian. Kita bisa gunakan nilai x = -3, x = 0, dan x = 4 sebagai nilai uji.
    Nilai ujiSubstitusiHasil
    x = -3(-3 - 3)(-3 + 2) = 6> 0
    x = 0(0 - 3)(0 + 2) = -6< 0
    x = 4(4 - 3)(4 + 2) = 6> 0

    Berdasarkan hasil uji tersebut maka himpunan penyelesaian terletak antara -2 dan 3, sehingga HP yang sesuai adalah :
    ⇒ -2 ≤ x ≤ 3 ....(i)

    Untuk x < 0 (|x| = -x)
    ⇒ x2 - |x| ≤ 6
    ⇒ x2 - (-x) ≤ 6
    ⇒ x2 + x - 6 ≤ 0
    ⇒ (x + 3)(x - 2) ≤ 0
    ⇒ x = -3 atau x = 2

    Untuk mengetahui HP yang benar, maka kita dapat menggunakan garis bilangan dan tiga titik uji yang mewakili daerah penyelesaian. Kita bisa gunakan nilai x = -4, x = 0, dan x = 3 sebagai nilai uji.
    Nilai ujiSubstitusiHasil
    x = -4(-4 + 3)(-4 - 2) = 6> 0
    x = 0(0 + 3)(0 - 2) = -6< 0
    x = 3(3 + 3)(3 - 2) = 6> 0

    Berdasarkan hasil uji tersebut maka himpunan penyelesaian terletak antara -3 dan 2, sehingga HP yang sesuai adalah :
    ⇒ -3 ≤ x ≤ 2 ..... (ii)

    pembahasan SBMPTN Pertidaksamaan mutlak

    Gabungan HP (i) dan (ii) adalah :
    ⇒ HP = {x| -3 ≤ x ≤ 3}
    Jawaban : D

  2. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan ||x| + x| ≤ 2 adalah ....
    1. {x| 0 ≤ x ≤ 1}
    2. {x| x ≤ 1}
    3. {x| x ≤ 2}
    4. {x| x ≤ 0}
    5. {x| x ≥ 0}

    Pembahasan :
    Sama seperti soal nomor 1, kita harus meninjau penyelesaian untuk masing-masing nilai x terlebih dahulu baru kemudian menentukan penyelesaian gabungannya.

    Untuk x > 0 (|x| = x)
    ⇒ ||x| + x| ≤ 2
    ⇒ x + x ≤ 2
    ⇒ 2x ≤ 2
    ⇒ x ≤ 1
    ⇒ HP = {0 ≤ x ≤ 1}....(i)

    Untuk x < 0 (|x| = -x)
    ⇒ ||x| + x| ≤ 2
    ⇒ -(|x| + x) ≤ 2
    ⇒ -((-x) + x) ≤ 2
    ⇒ 0 ≤ 2
    ⇒ HP = {x ≤ 0}
    Untuk x < 0, pertidaksamaan mutlak tersebut akan selalu bernilai benar.

    Gabungan HP (i) dan (ii) adalah :
    ⇒ HP = {x| x ≤ 1}
    Jawaban : B

Soal SBMPTN dan Pembahasan Persamaan Kuadrat 4

Soal SBMPTN dan Pembahasan Persamaan Kuadrat 4

  1. Jika jumlah kuadrat akar-akar real persamaan kuadrat x2 - x - p = 0 sama dengan kuadrat jumlah kebalikan akar-akar persamaan x2 - px - 1 = 0, maka nilai p sama dengan .....
    A. √2 + 1
    B. √2 - 1
    C. √2 + 1 atau -√2 + 1
    D. √3 - 1 atau √3 + 1
    E. 2 - √2 atau 2 + √2

    Pembahasan :
    Jika ada dua persamaan kuadrat yang akar-akarnya saling berhubungan dengan pola hubungan tertentu, maka yang harus kita lakukan adalah mencari nilai jumlah akar dan hasil kali akar masing-masing persamaan kuadrat dan selanjutnya memanfaatkan nilai atau persamaan yang kita peroleh untuk menentukan nilai variabel yang ditanya.

    Dengan demikian, berikut beberapa langkah yang dapat kita lakukan :
    • Tentukan jumlah dan hasil kali akar persamaan kuadrat pertama
    • Tentukan jumlah dan hasil kali akar persamaan kuadrat kedua
    • Tulis hubungan aka-akar kedua persamaan dalam bentuk matematika dan substitusi nilai atau persamaan yang kita peroleh dari langkah 1 dan 2.
    • Tentukan nilai p berdasarkan persamaan yang dipeoleh pada langkah 3.
Langkah Pertama 
Dari x2 - x - p = 0
Dik : a = 1, b = -1, c = -p

Jumlah akar :
⇒ u + v = -b⁄a
⇒ u + v = 1⁄1
⇒ u + v = 1

Hasil kali akar :
⇒ u.v = c⁄a
⇒ u.v = -p⁄1
⇒ u.v = -p
Langkah Kedua
Dari x2 - px - 1 = 0
Dik : a = 1, b = -p, c = -1

Jumlah akar :
⇒ m + n = -b⁄a
⇒ m + n = p⁄1
⇒ m + n = p

Hasil kali akar :
⇒ m.n = c⁄a
⇒ m.n = -1⁄1
⇒ m.n = -1
Langkah Ketiga
Untuk menulis hubungan akar dalam bentuk matematika maka kita harus teliti dalam mengartikan kalimat. Kata "kuadrat jumlah kebalikan" harus kita tulis dari belakang yaitu kebalikan akar (seper akar) dijumlahkan kemudian dikuadratkan. Sedangkan kata "jumlah kuadrat" artinya dikuadratkan dulu baru dijumlahkan. Untuk teori akar-akar persamaan kuadrat, kamu bisa baca artikel Jumlah dan hasil kali akar.

Sehingga, hubungan akar-akar persamaan kuadrat pertama dan kedua dalam bentuk matematika dapat ditulis menjadi :
⇒ u2 + v2 = (1⁄m + 1⁄n)2
⇒ (u + v)2 - 2u.v =(m + n)2
(m.n)2
⇒ (1)2 - 2(-p) =(p)2
(-1)2
⇒ 1 + 2p = p2
⇒ p2 - 2p - 1 = 0
Dik a = 1, b = -2, c = -1
Langkah Keempat 
Nilai p dapat ditentukan dengan mencari akar-akar persamaan kuadrat yang kita peroleh di langkah ketiga. Untuk mencari akar-akar tersebut, kita dapat menggunakan Rumus Kuadrat abc sebagai berikut :
⇒ p1,2 =-b ± √b2 - 4a.c
2a
⇒ p1,2 =-(-2) ± √(-2)2 - 4(1)(-1)
2(1)
⇒ p1,2 =2 ± √4 + 4
2
⇒ p1,2 =2 ± √8
2
⇒ p1,2 =2 ± 2√2
2
⇒ p1,2 = 1 ± √2

Karena akar-akarnya persamaan x2 - x - p = 0 real, maka ada syarat yang harus dipenuhi yaitu :
⇒ D > 0
⇒ b2 - 4ac > 0
⇒ (-1)2 - 4(1)(-p) > 0
⇒ 1 + 4p > 0
⇒ p > -¼
Dengan demikian nilai p yang memenuhi adalah 1 + √2 karena nilainya positif dan lebih besar dari -¼. Sedangkan 1 - √2 tidak memenuhi karena bernilai lebih kecil dari -¼.
Jawaban : A
  1. Jumlah akar-akar persamaan |x|2 - 2|x| - 3 = 0 sama dengan ....
    A. -10D. 0
    B. -3E. 4
    C. -1

    Pembahasan :
    Prinsip pengerjaan soal di atas sama dengan persamaan kuadrat biasa hanya saja karena variabel x dalam bentuk mutlak |x| yang berarti ada dua nilai x yaitu x < 0 (-x) dan x ≥ 0 (x), maka ada dua persamaan yang berbeda.
Untuk x < 0
Substitusikan |x| = -x
⇒ |x|2 - 2|x| - 3 = 0
⇒ (-x)2 - 2(-x) - 3 = 0
⇒ x2 + 2x - 3 = 0
⇒ (x + 3)(x - 1) = 0
⇒ x1 = -3 atau x2 = 1
Untuk x > 0
Substitusikan |x| = x
⇒ |x|2 - 2|x| - 3 = 0
⇒ (x)2 - 2(x) - 3 = 0
⇒ x2 - 2x - 3 = 0
⇒ (x - 3)(x + 1) = 0
⇒ x3 = 3 atau x4 = -1
Dengan demikian, jumlah akar-akar persamaan kuadrat tersebut adalah :
⇒ Jumlah akar = x1 + x2 + x3 + x4
⇒ Jumlah akar = -3 + 1 + 3 + (-1)
⇒ Jumlah akar = 0

Dengan menggunakan prinsip jumlah akar-akar persamaan kuadrat, akan kita peroleh hasil yang sama :
Untuk  x2 + 2x - 3 = 0 dik a = 1, b = 2, c = -3
⇒ x1 + x2 = -b⁄a
⇒ x1 + x2 = -2⁄1
⇒ x1 + x2 = -2

Untuk  x2 - 2x - 3 = 0 dik a = 1, b = -2, c = -3
⇒ x3 + x4 = -b⁄a
⇒ x3 + x4 = 2⁄1
⇒ x3 + x4 = 2

Dengan demikian jumlah akar-akarnya :
⇒ Jumlah akar = x1 + x2 + x3 + x4
⇒ Jumlah akar = -2 + 2 = 0
Jawaban : D

Soal dan Jawaban SBMPTN Matematika Persamaan Kuadrat 3

Soal dan Jawaban SBMPTN Matematika Persamaan Kuadrat 3

  1. Aka-akar persamaan kuadrat x2 + 6x + c = 0 adalah x1 dan x2. Akar-akar persamaan kuadrat x2 + (x12 + x22)x + 4 = 0 adalah u dan v. Jika u + v = -uv, maka x13.x2 + x1.x23 sama dengan .....
    A. -64             D. 32
    B. 4E. 64
    C. 16

    Pembahasan :
    Untuk menjawab soal di atas, langkah yang dapat kita lakukan yaitu :
    • Menentukan jumlah dan hasil kali akar persamaan kuadrat pertama
    • Menentukan jumlah dan hasil kali akar persamaan kuadrat kedua
    • Menentukan nilai c pada persamaan kuadrat petama
    • Menyusun persamaan kuadrat pertama setelah nilai c diperoleh
    • Menentukan nilai yang ditanya dalam soal
Langkah Pertama
Dari x2 + 6x + c = 0,
Dik : a = 1 , b = 6, dan c = c.

Jumlah akar :
⇒ x1 + x2 = -b⁄a
⇒ x1 + x2 = -6⁄1
⇒ x1 + x2 = -6

Hasil kali akar :
⇒ x1.x2 = c⁄a
⇒ x1.x2 = c⁄1
⇒ x1.x2 = c
Langkah Kedua 
Dari x2 + (x12 + x22)x + 4 = 0
Dik : a = 1 , b = (x12 + x22), c = 4.

Jumlah akar :
⇒ u + v = -b⁄a
⇒ u + v = -(x12 + x22)⁄1
⇒ u + v = -(x12 + x22)

Hasil kali akar :
⇒ u.v = c⁄a
⇒ u.v = 4⁄1
⇒ u.v = 4
Langkah Ketiga
Dari soal diketahui bahwa :
⇒ u + v = -uv

Dengan nilai yang kita peroleh di langkah kedua, maka :
⇒ -(x12 + x22) = -4
⇒ x12 + x22 = 4

Karena persamaan sudah dalam bentuk akar-akar persamaan kuadrat pertama, maka manfaatkan nilai jumlah dan hasil kali akar pada langkah pertama. Untuk itu kita perlu menjabarkan persamaan tersebut dan merubahnya sedemikian rupa agar mengandung x1 + x2 dan x1.x2. Untuk teori penjabarannya, kamu bisa baca artikel Jumlah dan Hasil Kali Akar Persamaan Kudarat.

Jika dijabarkan, maka kita peroleh :
⇒ x12 + x22 = 4
⇒ (x1 + x2)2 - 2x1.x2 = 4
⇒ (-6)2 - 2(c) = 4
⇒ 36 - 2c = 4
⇒ -2c = 4 - 36
⇒ -2c = -32
⇒ c = 16

Langkah Keempat 
Karena nilai c sudah diperoleh, selanjutnya substitusi nilai tersebut ke persamaan kuadrat pertama yang ada pada soal sehingga bentuknya
⇒ x2 + 6x + c = 0
⇒ x2 + 6x + 16 = 0
Dik a = 1, b = 6, dan c = 16

Dari langkah pertama sudah kita peroleh :
⇒ x1 + x2 = -6 dan x1.x2 = c = 16

Langkah Kelima
Untuk mencari nilai yang ditanya kita harus menjabarkan bentuk tersebut agar mengandung x1 + x2 dan x1.x2, sebagai berikut :
⇒ x13.x2 + x1.x23 = x1.x2(x12 + x22)
⇒ x13.x2 + x1.x23 = 16(4)
⇒ x13.x2 + x1.x23 = 64
Jawaban : E
  1. Syarat agar akar-akar persamaan kuadrat (p - 2)x2 + 2px + p -1 = 0 bernilai negatif dan berlainan adalah ....
    1. p > 2
    2. p < 0 atau p > 2⁄3
    3. 0 < p < 2⁄3
    4. 2⁄3 < p < 1
    5. 2⁄3 < p < 2

    Pembahasan :
    Dari (p - 2)x2 + 2px + p -1 = 0
    Dik : a = p -2, b = 2p, c = p -1

    Syarat agar akar-akar suatu persamaan kuadrat bernilai negatif dan berlainan adalah :
    • Diskriminan D > 0
    • Jumlah akar lebih kecil dari nol
    • Hasil kali akar lebih besar dari nol
    Untuk teori lebih lengkap, kamu bisa membaca artikel Jenis dan Sifat Akar-akar Persamaan Kuadrat.
Syarat Pertama 
Agar akar berlainan, nilai diskriminan harus lebih besar dari nol.
⇒ D > 0
⇒ b2 - 4ac > 0
⇒ (2p)2 - 4(p - 2)(p - 1) > 0
⇒ 4p2 - 4(p2 - 3p + 2) > 0
⇒ 4p2 - 4p2 + 12p - 8 > 0
⇒ 12p - 8 > 0
⇒ p > 2⁄3
Syarat Kedua
Jumlah akar persamaan kuadratnya harus lebih kecil dari nol karena negatif tambah negatif hasilnya negatif.
⇒ x1 + x2 < 0
⇒ -b⁄a < 0
⇒-2p  < 0
(p - 2)
⇒ p < 0 atau p > 2
Syarat Ketiga
Hasil kali akar-akarnya harus lebih besar dari nol karena negatif dikali negatif hasilnya positif atau lebih besar dari nol.
⇒ x1.x2 > 0
⇒ c⁄a > 0
⇒p - 1  > 0
p - 2
⇒ p < 1 atau p > 2

Gabungan dari syarat pertama, kedua, dan ketiga adalah p > 2.
Jawaban : A
Pembahasan Soal SBMPTN Persamaan Kuadrat 2

Pembahasan Soal SBMPTN Persamaan Kuadrat 2

  1. Jika jumlah kuadrat akar-akar persamaan x2 - 3x + n = 0 sama dengan jumlah pangkat tiga akar-akar persamaan kuadrat x2 + x - n = 0, maka nilai n adalah ....
    A. 8                D. -8
    B. 6  E. -10
    C. -2     

    Pembahasan :
    Misalkan akar-akar persamaan kuadrat x2 - 3x + n = 0 adalah p dan q, sedangkan akar-akar persamaan kuadrat x2 + x - n = 0 adalah u dan v. 

    Sebagai langkah awal, mari kita cerna kalimat dalam soal tersebut. Jumlah kuadrat akar persamaan kuadrat pertama sama dengan jumlah pangkat tiga akar-akar persamaan kuadrat kedua, dalam bentuk matematika dapat kita tulis sebagai berikut :
    ⇒ Jumlah kuadrat akar = jumlah pangkat tiga akar
    ⇒ p2 + q2 = u3 + v3

    Selanjutnya, kita mencari nilai masing-masing ruas. Perhatikan tahap pengerjaan di bawah ini!
Persamaan kuadrat  pertama 
x2 - 3x + n = 0
Dik : a = 1, b = -3, c = n

Jumlah akar :
⇒ p + q = -b⁄a
⇒ p + q = 3⁄1
⇒ p + q = 3

Hasil kali akar :
⇒ p.q = c⁄a
⇒ p.q = n⁄1
⇒ p.q = n

Jumlah kuadrat akar-akarnya :
⇒ p2 + q2 = (p + q)2 - 2p.q
⇒ p2 + q2 = (3)2 - 2(n)
⇒ p2 + q2 = 9 - 2n .......(1)
Persamaan kuadrat kedua
x2 + x - n = 0
Dik : a = 1, b = 1, c = -n

Jumlah akar :
⇒ u + v = -b⁄a
⇒ u + v = -1⁄1
⇒ u + v = -1

Hasil kali akar :
⇒ u.v = c⁄a
⇒ u.v = -n⁄1
⇒ u.v = -n

Jumlah pangkat tiga akar-akarnya :
⇒ u3 + v3 = (u + v)3 - 3u.v (u + v)
⇒ u3 + v3 = (-1)3 - 3(-n) (-1)
⇒ u3 + v3 = -1 - 3n .... (2)
Karena persamaan (1) dan (2) bernilai sama, maka berlaku :
⇒ p2 + q2 = u3 + v3
⇒ 9 - 2n = -1 - 3n
⇒ -2n + 3n = -1 - 9
⇒ n = -10
Jadi, nilai n adalah -10.

Sebenarnya, langkah pengerjaan soal di atas cukup sederhana. Intinya, cari jumlah kuadrat akar-akar persamaan kuadrat pertama, cari jumlah pangkat tiga akar-akar persamaan kuadrat kedua, kemudian tentukan nilai n berdasarkan prinsip persamaan.

Langkah panjang di atas merupakan upaya kami untuk menjelaskan pembahasan soal sedetail mungkin agar mudah dipahami. Jika penjabaran rumus jumlah kuadrat dan jumlah pangkat tiga akar-akar masih bingung, kamu bisa membaca postingan tentang Jumlah dan Hasil Kali Akar Persamaan Kuadrat untuk penjabaran lebih rinci
Jawaban : E
  1. Jika α dan β merupakan akar-akar real persamaan berikut :
    x2 + x = 2
    x2 + x + 1
    maka nilai α.β adalah ......
    1. 2 atau -1
    2. -2 atau 1
    3. -2 atau -1
    4. -2
    5. -1

    Pembahasan : 
    Kita misalkan x2 + x = p, sehingga persamaannya menjadi :
    ⇒ p = 2
    p + 1
    ⇒ p(p + 1) = 2
    ⇒ p2 + p - 2 = 0
    ⇒ (p + 2)(p - 1) = 0
    ⇒ p = -2 atau p = 1

    Sekarang kita kembalikan pemisalan tadi.
    Untuk p = -2
    ⇒ x2 + x = p
    ⇒ x2 + x = -2
    ⇒ x2 + x + 2 = 0

    Untuk mengetahui apakah akar-akar persamaan kuadrat tersebut real atau tidak, maka kita cek nilai diskriminannya.
    ⇒ D = b2 - 4ac
    ⇒ D = 12 - 4(1)(2)
    ⇒ D = 1 - 8
    ⇒ D = -7 < 0

    Ingat bahwa syarat agar akar-akarnya real, nilai D harus lebih besar sama dengan nol (D ≥ 0). Untuk teori lebih rinci, kamu bisa baca artikel Sifat Akar-akar Persamaan Kuadrat. Karena D < 0, maka akar-akarnya tidak real dengan begitu nilai p = -2 tidak memenuhi.

    Untuk p = 1
    ⇒ x2 + x = p
    ⇒ x2 + x = 1
    ⇒ x2 + x - 1 = 0

    Dengan cara yang sama kita tentukan diskriminannya :
    ⇒ D = b2 - 4ac
    ⇒ D = 12 - 4(1)(-1)
    ⇒ D = 1 + 4
    ⇒ D = 5 > 0
    Karena D > 0, maka akarnya real.

    Dengan demikian, persamaan yang memenuhi adalah x2 + x - 1 = 0. Dari persamaan tersebut, kita peroleh hasil kali akar sebagai berikut :
    ⇒ α.β = c⁄a
    ⇒ α.β = -1⁄1 
    ⇒ α.β = -1
    Jawaban : E

Soal SBMPTN dan Pembahasan Deret Geometri Tak hingga 2

  1. Jumlah suatu deret geometri tak hingga dengan suku pertama a dan rasio r dengan 0 < r < 1 adalah S. Jika suku pertama menjadi 2a dan rasio berubah menjadi (2 - r)r, maka jumlahnya menjadi ......
    A. 2S(1 - 1⁄r)
    B. 2S⁄(1-r)
    C. 2S(1⁄r - r)
    D. 2S(1⁄r - 1)
    E. (S-1)⁄r

    Pembahasan :
    Sesuai dengan konsep deret geometri, jumlah deret geometri tak hingga dapat dihitung dengan rumus berikut :
    S∞ = a
    1 − r

    Dengan :
    S∞ = jumlah deret geometri tak hingga.
    a = suku pertama deret geometri
    r = rasio deret geometri.

    Pada soal diketahui sebuah deret geometri tak hingga dengan suku pertama a, rasio r, dan jumlah S, maka berlaku :
    ⇒ S = a
    1 − r
    ⇒ a = S(1 − r)

    Pada deret geometri tak hingga yang baru diketahui perubahan sebagai berikut :
    ⇒ a' = 2a
    ⇒ r' = (2 − r)r

    Dengan rumus yang sama maka kita peroleh :
    ⇒ S' = a'
    1 − r'
    ⇒ S' = 2a
    1 − (2 − r)r
    ⇒ S' = 2.S(1 − r)
    1 − (2r − r2)
    ⇒ S' = 2S (1 − r)
    1 − 2r + r2
    ⇒ S' = 2S (1 − r)
    (1 − r)(1 − r)
    ⇒ S' = 2S
    (1 − r)
    Jawaban : B
  1. Diketahui segitiga siku-siku sama kaki pertama dengan panjang sisi siku-siku a. Dibuat segitiga siku-siku sama kaki kedua dengan panjang sisi miring sama dengan panjang sisi siku-siku segitiga pertama. Segitiga siku-siku sama kaki ke-3 dan ke-4, dan seterusnya masing-masing dibuat dengan panjang sisi miring sama dengan panjang sisi siku-siku segitiga sebelumnya. Jumlah luas seluruh segitiga tersebut adalah .....
    A. 8a2D. 2a2
    B. 4a2E. a2
    C. 3a2
pembahasan soal SBMPTN deret geometri

Pembahasan : 
Berdasarkan keterangan dalam soal, maka sketsa untuk segitiga sama kaki terlihat seperti gambar di atas. Jika luas segitiga pertama adalah L, maka luas segitiga kedua adalah ½L, dan luas segitiga ketiga adalah ¼L.
Luas masing-masing segitiga membentuk deret geometri dengan rasio ½. Nilai tersebut kita peroleh dari rumus berikut ini :
⇒ r = L2  = L3
L1L2
⇒ r = ½L  = ¼L
L½L
⇒ r = ½

Luas seluruh segitiga, merupakan jumlah deret geometri tak hingga sehingga dapat kita hitung dengan rumus yang sama seperti pada soal nomor 1, sebagai berikut :
⇒ S = a
1 - r
⇒ S = L
1 - ½
⇒ S = L
½
⇒ S = 2L

Seperti yang kita ketahui, luas segitiga merupakan setengah alas dikali tingginya. Karena segitiga pada soal merupakan segitiga siku-siku sama kaki maka panjang alas dan tingginya sama yaitu a. Sehingga kita peroleh :
⇒ S = 2L
⇒ S = 2 (½.a.a)
⇒ S = 2a2
Jawaban : E
  1. Diketahui sebuah segitiga OP1P2 dengan sudut siku-siku pada P2 dan sudut puncak 30o pada O. Dengan OP2 sebagai sisi miring dibuat pula segitiga siku-siku OP2P3 dengan sudut puncak P2OP3 sbesar 30o. Selanjutnya dibuat pula segitiga siku-siku OP2P3 dengan OP3 sebagai sisi miring dan sudut puncak P3OP4 sebesar 30o. Proses ini dilanjutkan terus-menerus. Jika OP1 = 16, maka jumlah luas seluruh segitiga adalah ....
    A. 64√3D. 256
    B. 128E. 256√3
    C. 128√3
pembahasan soal SBMPTN deret geometri tak hingga

Pembahasan :
Berdasarkan uraian dalam soal, maka segitiga-segitiga tersebut kurang lebih seperti gambar di atas. Karena proses berlanjut terus menerus dengan pola yang sama, maka luas segitiga tersebut membentuk deret geometri tak hingga.
Untuk mengetahui luas segitiga seluruhnya, maka kita harus mengetahui luas segitiga pertama dan rasionya. Karena OP1 = 16, maka panjang sisi P1P2 dapat dihitung dengan menggunakan konsep trigonometri, sebagai berikut :
⇒ sin 30o = P1P2
OP1
⇒ P1P2 = OP1 sin 30o
⇒ P1P2 = 16. ½
⇒ P1P2 = 8

Selanjutnya dengan cara yang sama kita dapat menentukan panjang sisi OP2 sebagai berikut :
⇒ cos 30o = OP2
OP1
⇒ OP2 = OP1 cos 30o
⇒ OP2 = 16. ½√3
⇒ OP2 = 8√3

Dengan demikian luas segitiga pertama adalah :
⇒ L Δ OP1P2 = ½.a.t
⇒ L Δ OP1P2 = ½. P1P2. OP2
⇒ L Δ OP1P2 = ½ (8) (8√3)
⇒ L Δ OP1P2 = 32√3

Segitiga kedua adalah Δ OP2P3. Untuk mengetahui luasnya, kita harus mencari alas dan tingginya terlebih dahulu dengan konsep trigonometri.
⇒ sin 30o = P2P3
OP2
⇒ P2P3 = OP2 sin 30o
⇒ P2P3 = 8√3. ½
⇒ P2P3 = 4√3

Selanjutnya dengan cara yang sama kita dapat menentukan panjang sisi OP3 sebagai berikut :
⇒ cos 30o = OP3
OP2
⇒ OP3 = OP2 cos 30o
⇒ OP3 = 8√3. ½√3
⇒ OP3 = 12

Dengan demikian, luas segitiga kedua adalah :
⇒ L Δ OP2P3 = ½.a.t
⇒ L Δ OP2P3 = ½. P2P3. OP3
⇒ L Δ OP2P3 = ½ (4√3) (12)
⇒ L Δ OP2P3 = 24√3

Selanjutnya kita dapat menentukan rasio deret geometrinya :
⇒ r = L Δ OP2P3
L Δ OP1P2
⇒ r = 24√3
32√3
⇒ r = ¾

Karena suku pertama dan rasionya sudah kita peroleh, maka jumlah luas segitiga dapat kita tentukan dengan rumus jumlah deret geometri tak hingga sebagai berikut :
⇒ L∞ = L Δ OP1P2
1 - r
⇒ L∞ = 32√3
1 - ¾
⇒ L∞ = 32√3
¼
⇒ L∞ = 128√3
Jawaban : C

Pembahasan Soal SBMPTN Barisan dan Deret Geometri 1

Pembahasan Soal SBMPTN Barisan dan Deret Geometri 1

  1. Tiga bilangan merupakan suku-suku deret aritmatika. Jika suku pertama dikurangi 2 dan suku ketiga ditambah 6, maka barisan tersebut menjadi barisan geometri dengan rasio 2. Hasil kali ketiga bilangan pada barisan geometri tersebut adalah .....
    1. 128
    2. 240
    3. 256
    4. 480
    5. 512

    Pembahasan :
    Misalkan tiga bilangan suku deret aritmatika adalah x + y + z. Karena barisan geometri terbentuk dari deret tersebut, maka kita harus mencari nilai x, y, dan z terlebih dahulu.

    Suku barisan geometri yang terbentuk dari deret aritmatika tersebut adalah :
    ⇒ Suku pertama, u1 = x - 2
    ⇒ Suku kedua ,  u2 = y
    ⇒ Suku ketiga, u3 = z + 6
    ⇒ Rasio, r = 2

    Berdasarkan data di atas, maka berlaku :
    ⇒ r = u2
    u1
    ⇒ 2 = y
    x - 2
    ⇒ 2(x - 2) = y
    ⇒ 2x - 4 = y
    ⇒ 2x = y + 4
    ⇒ x = ½y + 2 ....... (1)

    Dengan cara yang sama, berdasarkan rumus rasio :
    ⇒ r = u3
    u2
    ⇒ 2 = z + 6
    y
    ⇒ 2y = z + 6
    ⇒ z = 2y - 6 ....... (2)

    Karena ada tiga variabel x, y, dan z, maka kita perlu persamaan ketiga. Persamaan tersebut dapat kita peroleh berdasarkan data deret aritmatika yang kita misalkan di atas sebelumnya. Berdasarkan rumus beda barisan aritmatika, maka berlaku :
    ⇒ b = selisih 2 suku terdekat
    ⇒ y - x = z - y
    ⇒ 2y = z + x ....... (3)

    Substitusi persaman (1) dan (2) ke persamaan (3) :
    ⇒ 2y = z + x
    ⇒ 2y = (2y - 6) + (½y + 2)
    ⇒ 2y = 2,5y - 4
    ⇒ -0,5y = -4
    ⇒ y = 8

    Substitusi y = 8 ke persamaan (1) :
    ⇒ x = ½y + 2
    ⇒ x = ½(8) + 2
    ⇒ x = 6

    Substitusi y = 8 ke persamaan (2)
    ⇒ z = 2y - 6
    ⇒ z = 2(8) - 6
    ⇒ z = 10

    Dengan demikian kita peroleh suku baris geometri sebagai berikut :
    ⇒ u1 = x - 2 = 6 - 2 = 4
    ⇒ u2 = y = 8
    ⇒ u3 = z + 6 = 10 + 6 = 16

    Hasil kali ketiga suku :
    ⇒ u1. u2. u2 = 4 (8) (16)
    ⇒ u1. u2. u2 = 512
    Jawaban : E
  1. Jumlah suatu deret geometri tak hingga dengan suku pertama a dan rasio r dengan 0 < r < 1 adalah S. Jika suku pertama tetap dan rasio berubah menjadi 1 - r, maka jumlah deretnya menjadi ....
    1. S(1 - 1⁄r)
    2. S⁄r
    3. S(1⁄r - r)
    4. S⁄(1-r)
    5. S(1⁄r - 1)
Pembahasan : 
Dari deret geometri yang pertama :
⇒ S = a
1 - r
⇒ a = S(1 - r)
Jumlah deret geometri yang baru :
⇒ S = a  = S(1 - r)
1 - r1 - (1 - r)
⇒ S = S(1 - r)  = S(1⁄r - 1)
r
Jawaban : E
  1. Diketahui x1 dan x2 merupakan akar-akar persamaan x2 + 5x + a = 0 dengan x1 dan x2 tidak sama dengan nol. Jika x1, 2x2, dan -3x1.x2 masing-masing merupakan suku pertama, kedua, dan ketiga dari deret geometri dengan rasio positif, maka nilai a sama dengan ....
    A. -6D. -6 atau 6
    B. 2E. 2 atau 3
    C. 6

    Pembahasan :
    Dari persamaan kuadrat diperoleh a = 1, b = 5, dan c = a.

    Berdasarkan jumlah akar :
    ⇒ x1 + x2 = -b⁄a
    ⇒ x1 + x2 = -5⁄1
    ⇒ x1 + x2 = -5
    ⇒ x2 = -5 - x1 ....... (1)

    Berdasarkan hasil kali akar :
    ⇒ x1.x2 = c⁄a
    ⇒ x1.x2 = a⁄1
    ⇒ x1.x2 = a ....... (2)

    Dari soal diketahui deret geometri : x1, + 2x2 + -3x1.x2. Berdasarkan rumus rasio, maka berlaku :
    ⇒ y = u2  = u3
    u1u2
    ⇒ 2x2  = -3x1.x2
    x12x2
    ⇒ 2x2  = -3x1
    x12
    ⇒ 4x2 = -3x12 ....... (3)

    Substitusi persamaan (1) ke persamaan (3) :
    ⇒ 4x2 = -3x12
    ⇒ 4(-5 - x1) = -3x12
    ⇒ -20 - 4x1 = -3x12
    ⇒ -3x12 - 4x1 - 20 = 0
    ⇒ (3x1 - 10)(x1 + 2) = 0
    ⇒ x1 = 10⁄3  atau x1 = -2

    Untuk x1 = 10⁄3 
    ⇒ x2 = -5 - x1
    ⇒ x2 = -5 - 10⁄3 
    ⇒ x2 = -25⁄3 
    Karena suku pertama positif dan suku kedua negatif, maka rasionya negatif sehingga nilai x1 = 10⁄3 tidak memenuhi.

    Untuk x1 = -2
    ⇒ x2 = -5 - x1
    ⇒ x2 = -5 - (-2)
    ⇒ x2 = -3
    Suku pertama dan suku kedua sama-sama negatif, maka rasionya bernilai positif. Dengan demikian nilai tersebut berlaku.

    Berdasarkan persmaan (2), maka kita peroleh :
    ⇒ a = x1.x2
    ⇒ a = (-2) (-3)
    ⇒ a = 6
    Jawaban : C
Langganan: Postingan (Atom)