Soal SBMPTN dan Pembahasan Deret Geometri Tak hingga 2

Soal SBMPTN dan Pembahasan Deret Geometri Tak hingga 2

BAHAN BELAJAR MATEMATIKA BARISAN DAN DERET PEMBAHASAN SBMPTN MATEMATIKA

1. Jumlah suatu deret geometri tak hingga dengan suku pertama a dan rasio r dengan 0 < r < 1 adalah S. Jika suku pertama menjadi 2a dan rasio berubah menjadi (2 - r)r, maka jumlahnya menjadi ......

   A. 2S(1 - 1⁄r)

   B. 2S⁄(1-r)

   C. 2S(1⁄r - r)

   D. 2S(1⁄r - 1)

   E. (S-1)⁄r

   
   Pembahasan :
   Sesuai dengan konsep deret geometri, jumlah deret geometri tak hingga dapat dihitung dengan rumus berikut :
   

   S∞ = a 1 − r

   
   Dengan :
   S∞ = jumlah deret geometri tak hingga.
   a = suku pertama deret geometri
   r = rasio deret geometri.
   
   Pada soal diketahui sebuah deret geometri tak hingga dengan suku pertama a, rasio r, dan jumlah S, maka berlaku :
   

   ⇒ S =	a
   	1 − r

   ⇒ a = S(1 − r)
   
   Pada deret geometri tak hingga yang baru diketahui perubahan sebagai berikut :
   ⇒ a' = 2a
   ⇒ r' = (2 − r)r
   
   Dengan rumus yang sama maka kita peroleh :
   

   ⇒ S' =	a'
   	1 − r'

   ⇒ S' =	2a
   	1 − (2 − r)r

   ⇒ S' =	2.S(1 − r)
   	1 − (2r − r2)

   ⇒ S' =	2S (1 − r)
   	1 − 2r + r2

   ⇒ S' =	2S (1 − r)
   	(1 − r)(1 − r)

   ⇒ S' =	2S
   	(1 − r)

   Jawaban : B

2. Diketahui segitiga siku-siku sama kaki pertama dengan panjang sisi siku-siku a. Dibuat segitiga siku-siku sama kaki kedua dengan panjang sisi miring sama dengan panjang sisi siku-siku segitiga pertama. Segitiga siku-siku sama kaki ke-3 dan ke-4, dan seterusnya masing-masing dibuat dengan panjang sisi miring sama dengan panjang sisi siku-siku segitiga sebelumnya. Jumlah luas seluruh segitiga tersebut adalah .....

   A. 8a2	D. 2a2
   B. 4a2	E. a2
   C. 3a2

Pembahasan : 
Berdasarkan keterangan dalam soal, maka sketsa untuk segitiga sama kaki terlihat seperti gambar di atas. Jika luas segitiga pertama adalah L, maka luas segitiga kedua adalah ½L, dan luas segitiga ketiga adalah ¼L.

Luas masing-masing segitiga membentuk deret geometri dengan rasio ½. Nilai tersebut kita peroleh dari rumus berikut ini :

⇒ r =	L2	=	L3
	L1		L2

⇒ r =	½L	=	¼L
	L		½L

⇒ r = ½

Luas seluruh segitiga, merupakan jumlah deret geometri tak hingga sehingga dapat kita hitung dengan rumus yang sama seperti pada soal nomor 1, sebagai berikut :

⇒ S =	a
	1 - r

⇒ S =	L
	1 - ½

⇒ S =	L
	½

⇒ S = 2L

Seperti yang kita ketahui, luas segitiga merupakan setengah alas dikali tingginya. Karena segitiga pada soal merupakan segitiga siku-siku sama kaki maka panjang alas dan tingginya sama yaitu a. Sehingga kita peroleh :
⇒ S = 2L
⇒ S = 2 (½.a.a)
⇒ S = 2a²

Jawaban : E

3. Diketahui sebuah segitiga OP₁P₂ dengan sudut siku-siku pada P₂ dan sudut puncak 30^o pada O. Dengan OP₂ sebagai sisi miring dibuat pula segitiga siku-siku OP₂P₃ dengan sudut puncak P₂OP₃ sbesar 30^o. Selanjutnya dibuat pula segitiga siku-siku OP₂P₃ dengan OP₃ sebagai sisi miring dan sudut puncak P₃OP₄ sebesar 30^o. Proses ini dilanjutkan terus-menerus. Jika OP₁ = 16, maka jumlah luas seluruh segitiga adalah ....

   A. 64√3	D. 256
   B. 128	E. 256√3
   C. 128√3

Pembahasan :
Berdasarkan uraian dalam soal, maka segitiga-segitiga tersebut kurang lebih seperti gambar di atas. Karena proses berlanjut terus menerus dengan pola yang sama, maka luas segitiga tersebut membentuk deret geometri tak hingga.

Untuk mengetahui luas segitiga seluruhnya, maka kita harus mengetahui luas segitiga pertama dan rasionya. Karena OP₁ = 16, maka panjang sisi P₁P₂ dapat dihitung dengan menggunakan konsep trigonometri, sebagai berikut :

⇒ sin 30o =	P1P2
	OP1

⇒ P₁P₂ = OP₁ sin 30^o
⇒ P₁P₂ = 16. ½
⇒ P₁P₂ = 8

Selanjutnya dengan cara yang sama kita dapat menentukan panjang sisi OP₂ sebagai berikut :

⇒ cos 30o =	OP2
	OP1

⇒ OP₂ = OP₁ cos 30^o
⇒ OP₂ = 16. ½√3
⇒ OP₂ = 8√3

Dengan demikian luas segitiga pertama adalah :
⇒ L Δ OP₁P₂ = ½.a.t
⇒ L Δ OP₁P₂ = ½. P₁P₂. OP₂
⇒ L Δ OP₁P₂ = ½ (8) (8√3)
⇒ L Δ OP₁P₂ = 32√3

Segitiga kedua adalah Δ OP₂P₃. Untuk mengetahui luasnya, kita harus mencari alas dan tingginya terlebih dahulu dengan konsep trigonometri.

⇒ sin 30o =	P2P3
	OP2

⇒ P₂P₃ = OP₂ sin 30^o
⇒ P₂P₃ = 8√3. ½
⇒ P₂P₃ = 4√3

Selanjutnya dengan cara yang sama kita dapat menentukan panjang sisi OP₃ sebagai berikut :

⇒ cos 30o =	OP3
	OP2

⇒ OP₃ = OP₂ cos 30^o
⇒ OP₃ = 8√3. ½√3
⇒ OP₃ = 12

Dengan demikian, luas segitiga kedua adalah :
⇒ L Δ OP₂P₃ = ½.a.t
⇒ L Δ OP₂P₃ = ½. P₂P₃. OP₃
⇒ L Δ OP₂P₃ = ½ (4√3) (12)
⇒ L Δ OP₂P₃ = 24√3

Selanjutnya kita dapat menentukan rasio deret geometrinya :

⇒ r =	L Δ OP2P3
	L Δ OP1P2

⇒ r =	24√3
	32√3

⇒ r = ¾

Karena suku pertama dan rasionya sudah kita peroleh, maka jumlah luas segitiga dapat kita tentukan dengan rumus jumlah deret geometri tak hingga sebagai berikut :

⇒ L∞ =	L Δ OP1P2
	1 - r

⇒ L∞ =	32√3
	1 - ¾

⇒ L∞ =	32√3
	¼

⇒ L∞ = 128√3

Jawaban : C

Pembahasan Soal SBMPTN Barisan dan Deret Geometri 1

Pembahasan Soal SBMPTN Barisan dan Deret Geometri 1

BAHAN BELAJAR MATEMATIKA BARISAN DAN DERET PEMBAHASAN SBMPTN MATEMATIKA

1. Tiga bilangan merupakan suku-suku deret aritmatika. Jika suku pertama dikurangi 2 dan suku ketiga ditambah 6, maka barisan tersebut menjadi barisan geometri dengan rasio 2. Hasil kali ketiga bilangan pada barisan geometri tersebut adalah .....

   128 240 256 480 512

   
   Pembahasan :
   Misalkan tiga bilangan suku deret aritmatika adalah x + y + z. Karena barisan geometri terbentuk dari deret tersebut, maka kita harus mencari nilai x, y, dan z terlebih dahulu.
   
   Suku barisan geometri yang terbentuk dari deret aritmatika tersebut adalah :
   ⇒ Suku pertama, u₁ = x - 2
   ⇒ Suku kedua ,  u₂ = y
   ⇒ Suku ketiga, u₃ = z + 6
   ⇒ Rasio, r = 2
   
   Berdasarkan data di atas, maka berlaku :
   

   ⇒ r =	u2
   	u1

   ⇒ 2 =	y
   	x - 2

   ⇒ 2(x - 2) = y
   ⇒ 2x - 4 = y
   ⇒ 2x = y + 4
   ⇒ x = ½y + 2 ....... (1)
   
   Dengan cara yang sama, berdasarkan rumus rasio :
   

   ⇒ r =	u3
   	u2

   ⇒ 2 =	z + 6
   	y

   ⇒ 2y = z + 6
   ⇒ z = 2y - 6 ....... (2)
   
   Karena ada tiga variabel x, y, dan z, maka kita perlu persamaan ketiga. Persamaan tersebut dapat kita peroleh berdasarkan data deret aritmatika yang kita misalkan di atas sebelumnya. Berdasarkan rumus beda barisan aritmatika, maka berlaku :
   ⇒ b = selisih 2 suku terdekat
   ⇒ y - x = z - y
   ⇒ 2y = z + x ....... (3)
   
   Substitusi persaman (1) dan (2) ke persamaan (3) :
   ⇒ 2y = z + x
   ⇒ 2y = (2y - 6) + (½y + 2)
   ⇒ 2y = 2,5y - 4
   ⇒ -0,5y = -4
   ⇒ y = 8
   
   Substitusi y = 8 ke persamaan (1) :
   ⇒ x = ½y + 2
   ⇒ x = ½(8) + 2
   ⇒ x = 6
   
   Substitusi y = 8 ke persamaan (2)
   ⇒ z = 2y - 6
   ⇒ z = 2(8) - 6
   ⇒ z = 10
   
   Dengan demikian kita peroleh suku baris geometri sebagai berikut :
   ⇒ u₁ = x - 2 = 6 - 2 = 4
   ⇒ u₂ = y = 8
   ⇒ u₃ = z + 6 = 10 + 6 = 16
   
   Hasil kali ketiga suku :
   ⇒ u₁. u₂. u₂ = 4 (8) (16)
   ⇒ u₁. u₂. u₂ = 512
   

   Jawaban : E

2. Jumlah suatu deret geometri tak hingga dengan suku pertama a dan rasio r dengan 0 < r < 1 adalah S. Jika suku pertama tetap dan rasio berubah menjadi 1 - r, maka jumlah deretnya menjadi ....

   S(1 - 1⁄r) S⁄r S(1⁄r - r) S⁄(1-r) S(1⁄r - 1)

Pembahasan : 
Dari deret geometri yang pertama :

⇒ S =	a
	1 - r

⇒ a = S(1 - r)
Jumlah deret geometri yang baru :

⇒ S =	a	=	S(1 - r)
	1 - r		1 - (1 - r)

⇒ S =	S(1 - r)	= S(1⁄r - 1)
	r

Jawaban : E

3. Diketahui x₁ dan x₂ merupakan akar-akar persamaan x² + 5x + a = 0 dengan x₁ dan x₂ tidak sama dengan nol. Jika x₁, 2x₂, dan -3x₁.x₂ masing-masing merupakan suku pertama, kedua, dan ketiga dari deret geometri dengan rasio positif, maka nilai a sama dengan ....

   A. -6	D. -6 atau 6
   B. 2	E. 2 atau 3
   C. 6

   
   Pembahasan :
   Dari persamaan kuadrat diperoleh a = 1, b = 5, dan c = a.
   
   Berdasarkan jumlah akar :
   ⇒ x₁ + x₂ = ^-b⁄_a
   ⇒ x₁ + x₂ = ^-5⁄₁
   ⇒ x₁ + x₂ = -5
   ⇒ x₂ = -5 - x₁ ....... (1)
   
   Berdasarkan hasil kali akar :
   ⇒ x₁.x₂ = ^c⁄_a
   ⇒ x₁.x₂ = ^a⁄₁
   ⇒ x₁.x₂ = a ....... (2)
   
   Dari soal diketahui deret geometri : x₁, + 2x₂ + -3x₁.x₂. Berdasarkan rumus rasio, maka berlaku :
   

   ⇒ y =	u2	=	u3
   	u1		u2

   ⇒	2x2	=	-3x1.x2
   	x1		2x2

   ⇒	2x2	=	-3x1
   	x1		2

   ⇒ 4x₂ = -3x₁² ....... (3)
   
   Substitusi persamaan (1) ke persamaan (3) :
   ⇒ 4x₂ = -3x₁²
   ⇒ 4(-5 - x₁) = -3x₁²
   ⇒ -20 - 4x₁ = -3x₁²
   ⇒ -3x₁² - 4x₁ - 20 = 0
   ⇒ (3x₁ - 10)(x₁ + 2) = 0
   ⇒ x₁ = ¹⁰⁄₃  atau x₁ = -2
   
   Untuk x₁ = ¹⁰⁄₃ 
   ⇒ x₂ = -5 - x₁
   ⇒ x₂ = -5 - ¹⁰⁄₃ 
   ⇒ x₂ = ^-25⁄₃ 
   Karena suku pertama positif dan suku kedua negatif, maka rasionya negatif sehingga nilai x₁ = ¹⁰⁄₃ tidak memenuhi.
   
   Untuk x₁ = -2
   ⇒ x₂ = -5 - x₁
   ⇒ x₂ = -5 - (-2)
   ⇒ x₂ = -3
   Suku pertama dan suku kedua sama-sama negatif, maka rasionya bernilai positif. Dengan demikian nilai tersebut berlaku.
   
   Berdasarkan persmaan (2), maka kita peroleh :
   ⇒ a = x₁.x₂
   ⇒ a = (-2) (-3)
   ⇒ a = 6
   

   Jawaban : C

PEMBAHASAN SOAL SBMPTN BARISAN ARITMATIKA 2

PEMBAHASAN SOAL SBMPTN BARISAN ARITMATIKA 2

BAHAN BELAJAR MATEMATIKA BARISAN DAN DERET PEMBAHASAN SBMPTN MATEMATIKA

1. Andre kuliah di suatu perguruan tinggi negeri selama 8 semester. Besar SPP yang harus dibayar pada setiap semester adalah Rp 200.000,- lebih besar dari SPP semester sebelumnya. Jika pada semester ke-8 Andre membayar SPP sebesar Rp 2.400.000,- maka total SPP yang dibayar selama 8 semester adalah .....

   Rp 12.800.000,- Rp 13.000.000,- Rp 13.200.000,- Rp 13.400.000,- Rp 13.600.000,-

   
   Pembahasan :
   Karena besar SPP yang dibayar setiap semester bertambah sebesar 200.000,- dari SPP semester sebelumnya, maka biaya yang dikeluarkan akan membentuk barisan aritmatika dengan beda 200.000.
   
   Rumus barder aritmatika yang kita gunakan :
   

   Un = a + (n - 1)b

   Sn = n⁄2 (a + Un)

   
   
   Dengan :
   ⇒ Un = suku ke-n barisan
   ⇒ Sn = jumlah n suku pertama
   ⇒ n = banyak suku
   ⇒ a = suku awal
   ⇒ b = beda barisan
   
   Dari soal cerita di atas, diketahui :
   ⇒ b = 200.000
   ⇒ U₈ = 2.400.000
   ⇒ n = 8
   
   Karena untuk menentukan jumlah SPP selama 8 semester harus diketahui suku awalnya (a), maka kita harus menentukan nilai SPP semester pertamanya.
   
   Dari rumus suku ke-8 kita peroleh :
   ⇒ Un = a + (n - 1)b
   ⇒ U₈ = a + (8 - 1)b
   ⇒ 2.400.000 = a + (7)200.000
   ⇒ 2.400.000 = a + 1.400.000
   ⇒ a = 2.400.000 - 1.400.000
   ⇒ a = 1.000.000
   
   Dengan demikian total SPP selama 8 semester adalah :
   ⇒ Sn = ⁿ⁄₂ (a + Un)
   ⇒ S₈ = ⁸⁄₂ (a + U₈ )
   ⇒ S₈ = 4 (1.000.000 + 2.400.000)
   ⇒ S₈ = 4 (3.400.000)
   ⇒ S₈ = 13.600.000
   Jadi, total SPP adalah Rp 13.600.000,-
   

   Jawaban : E
   
   
2. Diberikn suku banyak f(x) = x³ + 3x² + a. Jika f ''(2), f '(2), dan f(2) membentuk barisan aritmatika, maka f ''(2) + f '(2) + f(2) sama dengan .....

   A. 37	D. 63
   B. 46	E. 72
   C. 51

   
   Pembahasan :
   Untuk menyelesaikan soal di atas, kita harus memahami konsep turunan pertama f '(x) dan turunan kedua f ''(x) dan konsep barisan aritmatika.
   
   Menentukan nilai f(2) :
   ⇒ f(x) = x³ + 3x² + a
   ⇒ f(2) = 2³ + 3(2)² + a
   ⇒ f(2) = 8 + 12 + a
   ⇒ f(2) = 20 + a
   
   Menentukan nilai f '(2) :
   

   ⇒ f '(x) =	d f(x)
   	dx

   ⇒ f '(x) =	d (x3 + 3x2 + a)
   	dx

   ⇒ f '(x) = 3x² + 6x
   ⇒ f '(2) = 3(2)² + 6(2)
   ⇒ f '(2) = 12 + 12
   ⇒ f '(2) = 24
   
   Menentukan nilai f ''(2) :
   

   ⇒ f ''(x) =	d f '(x)
   	dx

   ⇒ f ''(x) =	d (3x2 + 6x)
   	dx

   ⇒ f ''(x) = 6x + 6
   ⇒ f ''(2) = 6(2) + 6
   ⇒ f ''(2) = 18
   Barisan = f ''(2), f '(2), f(2) = 18, 24, 20 + a.
   
   Karena f ''(2), f '(2), dan f(2) membentuk barisan aritmatika, maka :
   ⇒ f '(2) - f ''(2) = f(2) - f '(2)
   ⇒ 24 - 18 = 20 + a - 24
   ⇒ 6 = -4 + a
   ⇒ a = 10
   
   Dengan demikian jumlah ketiganya adalah :
   ⇒ f ''(2) + f '(2) + f(2) = 18 + 24 + (20 + a)
   ⇒ f ''(2) + f '(2) + f(2) = 42 + (20 + 10)
   ⇒ f ''(2) + f '(2) + f(2) = 72
   

   Jawaban : E
   
   
3. Diketahui suatu persamaan parabola y = ax² + bx + c. Jika a, b, dan c berturut-turut merupakan suku pertama, kedua, dan ketiga suatu barisan aritmatika, serta garis singgung parabola tersebut di titik (1, 12) sejajar dengan garis y = 6x, maka nilai (3a + 2b + c) sama dengan ....

   A. 14	D. 20
   B. 16	E. 22
   C. 18

   
   Pembahasan :
   Garis singgung di titik (1, 12) maka substitusikan nilai x = 1 dan y = 12.
   ⇒ y = ax² + bx + c
   ⇒ 12 = a(1)² + b(1) + c
   ⇒ 12 = a + b + c
   ⇒ a + c = 12 - b ...... 1)
   
   Konsep barisan aritmatika :
   

   U1 + U3 = 2 U2

   a + (a + 2b) = 2 (a + b)

   
   Dengan :
   ⇒ U₁ = suku awal
   ⇒ U₂ = suku kedua
   ⇒ U₃ = suku ketiga
   
   Karena a, b, dan c membentuk barisan aritmatika dan jumlah ketiganya sama dengan 12, maka substitusi persamaan 1 ke persamaan berikut :
   ⇒ U₁ + U₃ = 2 U₂ 
   ⇒ a + c = 2b
   ⇒ 12 - b = 2b
   ⇒ 12 = 3b
   ⇒ b = 4
   
   Karena b = 4, maka :
   ⇒ a + c = 12 - b
   ⇒ a + c = 12 - 4
   ⇒ a + c = 8
   
   Sekarang kita tinjau persamaan gardien garis singgungnya :
   

   ⇒ m =	dy
   	dx

   ⇒ m =	d (ax2 + bx + c)
   	dx

   ⇒ m = 2ax + b
   
   Karena garis singung sejajar dengan garis y = 6x (gradiennya = 6), maka gradien garis singgung juga sama dengan 6. Ingat bahwa dua garis yang sejajar memiliki gradien yang sama. Dengan begitu, pada titik (1, 12) diperoleh : 
   ⇒ m = 2ax + b
   ⇒ 6 = 2a(1) + b
   ⇒ 6 = 2a + b
   
   Substitusikan nilai b = 4 yang sudah kita peroleh sebelumnya :
   ⇒ 6 = 2a + 4
   ⇒ 2a = 6 - 4
   ⇒ 2a = 2
   ⇒ a = 1
   Jadi, a = 1, b = 4, dan c = 8 - 1 = 7.
   
   Dengan demikian kite peroleh :
   ⇒ 3a + 2b + c = 3(1) + 2(4) + 7
   ⇒ 3a + 2b + c = 3 + 8 + 7
   ⇒ 3a + 2b + c = 18
   

   Jawaban : C

PEMBAHASAN SOAL SBMPTN BARISAN DAN DERET ARITMATIKA 1

PEMBAHASAN SOAL SBMPTN BARISAN DAN DERET ARITMATIKA 1

BAHAN BELAJAR MATEMATIKA BARISAN DAN DERET PEMBAHASAN SBMPTN MATEMATIKA

1. Diketahui u₁, u₂, u₃, .... adalah barisan aritmatika dengan suku-suku positif. Jika u₁ + u₂ + u₃ = 24 dan u₁² = u₃ - 10, maka nilai u₄ sama dengan ....

   A. 16

   B. 20

   C. 24

   D. 30

   E. 32

   
   Pembahasan :
   Dari soal diperoleh :
   ⇒ u₁ + u₂ + u₃ = 24
   ⇒ a + (a + b) + (a + 2b) = 24
   ⇒ 3a + 3b = 24
   ⇒ a + b = 8
   ⇒ a = 8 - b
   
   
   Substitusi nilai a ke persamaan berikutnya :
   ⇒ u₁² = u₃ - 10
   ⇒ a² = (a + 2b) - 10
   ⇒ (8 - b)² = (a + 2b) - 10
   ⇒ 64 - 16b + b² = 8 - b + 2b - 10
   ⇒ 64 - 16b + b² = 8 - b + 2b - 10
   ⇒ b² - 16 b + 64 = b - 2
   ⇒ b² - 17 b + 66 = 0
   ⇒ (b - 11)(b - 6) = 0
   ⇒ b = 11 atau b = 6
   
   Karena beda barisan ada dua pilihan, maka harus kita lihat nilai mana yang memenuhi syarat sehingga kita peroleh nilai suku awal sebagai berikut :
   Untuk b = 11
   ⇒ a = 8 - b
   ⇒ a = 8 - 11
   ⇒ a = -3
   Karena suku-suku barisannya positif, maka nilai b = 11 tidak memenuhi karena suku awalnya bernilai negatif yaitu -3.
   
   Untuk b = 6
   ⇒ a = 8 - b
   ⇒ a = 8 -6
   ⇒ a = 2
   Dengan begitu, suku awalnya u₁ = a = 2.
   
   Karena suku awal dan beda sudah diperoleh, maka suku ke-4 dapat ditentukan.
   ⇒ u₄ = a + 3b
   ⇒ u₄ = 2 + 3(6)
   ⇒ u₄ = 2 + 18
   ⇒ u₄ = 20
   

   Jawaban : B
   
   

   

   
   
2. Keuntungan seorang pedagang bertambah setiap bulannya dengan jumlah yang sama besar. Bila keuntungan sampai bulan keempat 30 ribu rupiah, dan keuntungan sampai bulan kedelapan 172 ribu rupiah, maka keuntungan pedagang tersebut sampai bulan ke-18 adalah ....

   1017 ribu rupiah 1050 ribu rupiah 1100 ribu rupiah 1120 ribu rupiah 1137 ribu rupiah

   
   Pembahasan :
   Karena keuntungan bertambah dengan jumlah yang sama, maka soal di atas termasuk barisan aritmatika dengan pertambahan keuntungan sebagai beda-nya (b) dan keuntungan di bulan pertama sebagai suku awalnya (a). Keuntungan pada bulan ke-n merupakan jumlah suku ke-n (S_n) dari barisan tersebut.
   
   Bulan ke-4 :
   ⇒ S₄ = 30.000
   ⇒ ⁿ⁄₂ {2a + (n - 1)b} = 30.000
   ⇒ ⁴⁄₂ {2a + (4 - 1)b} = 30.000
   ⇒ 2 (2a + 3b) = 30.000
   ⇒ 2a + 3b = 15.000
   ⇒ 2a = 15.000 - 3b ....(1)
   
   Bulan ke-8 :
   ⇒ S₈ = 172.000
   ⇒ ⁿ⁄₂ {2a + (n - 1)b} = 172.000
   ⇒ ⁸⁄₂ {2a + (8 - 1)b} = 172.000
   ⇒ 4 (2a + 7b) = 172.000
   ⇒ 2a + 7b = 43.000 .....(2)
   
   Substitusi persamaan (1) ke persamaan (2) :
   ⇒ 2a + 7b = 43.000
   ⇒ 15.000 - 3b + 7b = 43.000
   ⇒ 15.000 + 4b = 43.000
   ⇒ 4b = 28.000
   ⇒ b = 7.000
   
   Dengan demikian diperoleh suku awal :
   ⇒ 2a + 7b = 43.000
   ⇒ 2a + 7(7.000) = 43.000
   ⇒ 2a + 49.000 = 43.000
   ⇒ 2a = -6.000
   ⇒ a = -3000
   
   Keuntungan pedagang sampai bulan ke-18 adalah :
   ⇒ S₁₈ =  ⁿ⁄₂ {2a + (n - 1)b}
   ⇒ S₁₈ = ¹⁸⁄₂ {2a + (18 - 1)b}
   ⇒ S₁₈ = 9 (2a + 17b)
   ⇒ S₁₈ = 9 {2(-3000) + 17(7000)}
   ⇒ S₁₈ = 9 (-6000 + 119.000)
   ⇒ S₁₈ = 9 (113.000)
   ⇒ S₁₈ = 1.017.000
   Jadi, keuntungannya adalah 1.017 ribu.
   

   Jawaban : A
   
   
3. Dari barisan empat buah bilangan, jumlah tiga bilangan pertama sama dengan nol dan kuadrat bilangan pertama sama dengan -⅔ kali bilangan ketiga. Jika setiap dua bilangan yang berdekatan sama selisihnya, maka bilangan keempat adalah ....

   A. -4⁄3	D. 4⁄9
   B. -2⁄3	E. 4⁄3
   C. -4⁄9

   
   Pembahasan :
   Misalkan keempat bilangan tersebut adalah u₁, u₂, u₃, dan u₄. Karena selisih dua bilangan yang berdekatan sama, berarti keempat bilangan tersebut membentuk barisan aritmatika.
   
   Jumlah tiga bilangan pertama :
   ⇒ u₁ + u₂ + u₃ = 0
   ⇒ a + (a + b) + (a + 2b) = 0
   ⇒ 3a + 3b = 0
   ⇒ 3a = -3b
   ⇒ a = -b
   
   Hubungan bilangan pertama dan ketiga :
   ⇒ u₁² = ^-2⁄₃ u₃
   ⇒ a² =  ^-2⁄₃ (a + 2b)
   ⇒ (-b)² =  ^-2⁄₃ (-b + 2b)
   ⇒ b² =  ^-2⁄₃ b
   ⇒ b = ^-2⁄₃ 
   
   Selanjutnya, diperoleh bilangan pertamanya :
   ⇒ a = -b
   ⇒ a = ²⁄₃  
   
   Dengan demikian, bilangan keempat adalah :
   ⇒ u₄ = a + 3b
   ⇒ u₄ = ²⁄₃ + 3(^-2⁄₃)
   ⇒ u₄ = ²⁄₃ - ⁶⁄₃
   ⇒ u₄ = ^-4⁄₃
   Jawaban : A

KUMPULAN MODEL SOAL SBMPTN BARISAN DAN DERET

KUMPULAN MODEL SOAL SBMPTN BARISAN DAN DERET

BAHAN BELAJAR MATEMATIKA BARISAN DAN DERET SOAL SBMPTN

1. Jika jumlah n suku pertama suatu deret aritmatika ditentukan oleh rumus Sn = 4n² + 5n, maka beda derat tersebut adalah .....

   A. 8

   B. 7

   C. 6

   D. 5

   E. 4

   
   
2. Suku kedua dari suatu deret aritmatika adalah 8. Jika jumlah dua puluh suku pertama adalah 670, maka jumlah sepuluh suku pertama deret tersebut sama dengan .....

   A. 193	D. 182
   B. 190	E. 179
   C. 185

   
   
3. U₁, U₂, U₃, .... adalah barisan aritmatika dengan suku-suku positif. Jika U₁ + U₂ + U₃ = 24 dan U₁² = U₃ - 10, maka suku keempat sama dengan .....

   A. 32	D. 20
   B. 30	E. 16
   C. 24

   
   
4. Jika log a + log (^a⁄_b) + log (^a⁄_b²) + .... adalah deret aritmatika, maka jumlah 10 suku pertama deret tersebut adalah .....

   A. 10 log a - 45 log b

   B. 10 log a - 35 log b

   C. 10 log a - 42 log b

   D. 10 log a - 39 log b

   E. 10 log a - 9 log b

   
   
5. Suku tengah barisan aritmatika adalah 41. Jika beda barisan tersebut sama dengan 5 dan suku ketujuh adalah 36, maka jumlah semua suku barisan tersebut adalah .....

   A. 605	D. 620
   B. 610	E. 625
   C. 615

   
   
6. Suatu barisan aritmatika dengan suku-suku positif U₁, U₂, U₃, ..... Jika diketahui U₁ + U₂ + U₃ = 45, maka suku keempat adalah .....

   A. 55	D. 37
   B. 53	E. 35
   C. 48

   
   
7. Enam buah bilangan membentuk deret aritmatika. Jika jumlah empat bilangan pertama adalah 50 dan jumlah empat bilangan terakhir adalah 74, maka jumlah bilangan ketiga dan keempat adalah .....

   A. 43	D. 19
   B. 31	E. 11
   C. 21

   
   
8. Pada sebuah barisan aritmatika, suku keduanya adalah 8, suku keempatnya adalah 14, dan suku terakhirnya adalah 23. Banyaknya suku barisan tersebut adalah ....

   A. 9	D. 6
   B. 8	E. 5
   C. 7

   
   
9. Jika t_n adalah suku ke-n dari suatu deret geometri dan p > 5, maka (t_{p - 5}).(t_{p + 9}) sama dengan .....

   A. (2tp + 2)2

   B. (tp + 1)2

   C. (t2p - 1)2

   D. (tp + 2)2

   E. (t2p + 1)2

   
   
10. Jumlah semua suku deret geometri tak hingga adalah 9. Jika jumlah suku bernomor genap adalah ⁴⁄₉, maka suku pertama deret tersebut adalah .....

    A. 6	D. 3
    B. 5	E. 2
    C. 4

    
    
11. Seorang karyawan menabung dengan teratur setiap bulan dan jumlah yang ditabung setiap bulannya selalu lebih besar dari bulan sebelumnya dengan selisih yang sama. Jika jumlah tabungannya dalam 10 bulan pertama adalah Rp 185.000,- dan dalam 20 bulan pertama adalah Rp 670.000,-, maka banyak uang yang ditabung karyawan tersebut pada bulan kesebelas adalah .....

    A. Rp 48.000,-

    B. Rp 45.000,-

    C. Rp 42.000,-

    D. Rp 38.000,-

    E. Rp 35.000,-

    
    
12. Agar deret geometri berikut :

    x - 1	,	1	,	1	,...
    x		x		x(x - 1)

    jumlahnya mempunyai limit, maka nilai x harus memenuhi .....
    

    A. x < 0 atau x > 2

    B. 0 < x < 1

    C. x > 2

    D. x < 1

    E. x > 0

    
    
13. Agar deret geometri ^½log(1 - x) + ^½log² (1 - x) + ^½log³ (1-x) + ... konvergen, maka batas-batas nilai x adalah .....

    A.-1 < x < -½

    B. -2 < x < 2

    C. 1 < x < 2

    D. ½ < x < 1

    E. -1½ < x < ½

    
    
14. Jumlah deret geometri tak hingga sama dengan 6. Jika tiap suku dikuadratkan, maka jumlahnya sama dengan 4. Suku pertama deret tersebut adalah ....

    A. 2⁄5	D. 5⁄6
    B. 3⁄5	E. 6⁄5
    C. 4⁄5

    
    
15. Jumlah tak hingga dari deret geometri : 4 + 2 + 1 + ½ + ..... sama dengan .....

    A. 10	D. 7½
    B. 8	E. 14½
    C. 8½