Pembahasan Soal SBMPTN Pertidaksamaan Logaritma 1

Pembahasan Soal SBMPTN Pertidaksamaan Logaritma 1

BAHAN BELAJAR MATEMATIKA LOGARITMA PEMBAHASAN SBMPTN MATEMATIKA

1. Himpunan penyeleasaian pertidaksamaan 2 log (x - 2) ≤ log (2x - 1) adalah ....

   {x| -1 ≤ x ≤ 5} {x| 2 < x ≤ 5} {x| -2 < x ≤ 3 atau x ≥ 5} {x| x ≥ 5} {x| 2 < x ≤ 5/2}

   
   Pembahasan :
   ⇒ 2 log (x - 2) ≤ log (2x - 1)
   ⇒ log (x - 2)² ≤ log (2x - 1)
   
   Syarat utama yang harus kita perhatikan adalah syarat berdasarkan prinsip logaritma. Sesuai dengan konsep dasar logaritma, bilangan yang dilogaritmakan harus lebih besar dari nol. Dengan demikian kita harus tinjau syarat yang berlaku pada bilangan yang dilogaritmakan terlebih dahulu yaitu (x - 2) dan (2x - 1).
   
   Untuk log (x - 2)
   ⇒ x - 2 > 0
   ⇒ x > 2
   
   Untuk log (2x - 1)
   ⇒ 2x - 1 > 0
   ⇒ 2x > 1
   ⇒ x > ½
   
   Berdasarkan dua syarat tersebut, maka nilai x yang memenuhi pertidaksamaan tersebut salah satunya adalah x > 2.
   
   Selanjutnya, kita tinjau penyelesaian untuk pertidaksamaan tersebut.
   ⇒ log (x - 2)² ≤ log (2x - 1)
   ⇒ (x - 2)² ≤ (2x - 1)
   ⇒ x² - 4x + 4 ≤ 2x - 1
   ⇒ x² - 4x + 4 - 2x + 1 ≤ 0
   ⇒ x² - 6x + 5 ≤ 0
   ⇒ (x - 5)(x - 1) ≤ 0
   ⇒ x = 5 atau x = 1
   
   Untuk melihat penyelesaian pertidaksamaannya, maka kita dapat menggunakan garis bilangan dan nilai uji. Karena nilai x patokan (pembuat nol) adalah 5 dan 1, maka kita dapat gunakan nilai uji x = 0, x = 3, dan x = 6.
   

   Nilai uji	Substitusi	Hasil
   x = 0	(0 - 5)(0 - 1) = 5	> 0
   x = 3	(3 - 5)(3 - 1) = -4	< 0
   x = 6	(6 - 5)(6 - 1) = 5	> 0

   
   Karena yang kita cari adalah pertidaksamaan kurang dari sama dengan (≤), maka nilai uji yang memenuhi adalah nilai uji yang menghasilkan nilai negatif atau kurang dari nol. Dengan demikian, himpunan penyelesaiannya terletak di antara 1 dan 5.
   ⇒ HP = {x| 1 ≤ x ≤ 5}
   
   Karena syarat utama berdasarkan konsep logaritma adalah x > 2, maka himpunan penyelesaian untuk pertidaksamaan logaritma tersebut adalah :
   ⇒ HP = {x| 2 < x ≤ 5}
   

   Jawaban : B

2. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan log (x + 3) + 2 log 2 > log x² adalah ....

   {x| -3 < x < 0} {x| -2 < x < 0}∪{x| 0 < x < 6} {x| -2 < x < 6} {x| -3 < x < -2}∪{x| x < 6} {x| x < -2}∪{x| x > 6}

   
   Pembahasan :
   Sama seperti soal nomor 1, kita harus melihat syarat utama logaritma dari soal tersebut.
   
   Untuk log (x + 3)
   ⇒ x + 3 > 0
   ⇒ x > -3
   
   Untuk log x²
   ⇒ x² > 0
   ⇒ x ≠ 0
   
   Selanjutnya kita cari penyelesaian pertidaksamaan :
   ⇒ log (x + 3) + 2 log 2 > log x²
   ⇒ log (x + 3) + log 2² > log x²
   ⇒ log (x + 3) + log 4 > log x²
   ⇒ log 4(x + 3) > log x²
   ⇒ 4(x + 3) > x²
   ⇒ x² - 4(x + 3) < 0
   ⇒ x² - 4x - 12 < 0
   ⇒ (x - 6)(x + 2) < 0
   ⇒ x = 6 atau x = -2
   
   Untuk pertidaksamaannya, maka gunakan nilai uji atau garis bilangan. Karena nilai x pembuat nol adalah -2 dan 6, maka nilai uji yang dapat kita gunakan antara lain x = -3, x = 0, dan x = 7.
   

   Nilai uji	Substitusi	Hasil
   x = -3	(-3 - 6)(-3 + 2) = 9	> 0
   x = 0	(0 - 6)(0 + 2) = -12	< 0
   x = 7	(7 - 6)(7 + 2) = 9	> 0

   
   Karena yang kita cari adalah pertidaksamaan kurang dari (<), maka nilai uji yang memenuhi adalah nilai uji yang menghasilkan nilai negatif atau kurang dari nol. Dengan demikian, himpunan penyelesaiannya terletak di antara -2 dan 6.
   ⇒ HP = {x| -2 < x < 6}
   
   Karena syarat logaritma x > -3 dan x ≠ 0, maka kita harus melihat penyelesaian gabungan dari syarat-syarat yang telah kita peroleh. Irisan dari ketiga penyelesaian tersebut adalah :
   ⇒ HP = {x| -2 < x < 0}∪{x| 0 < x < 6}
   

   Jawaban : B

PEMBAHASAN SOAL SBMPTN PERSAMAAN DAN FUNGSI LOGARITMA 3

PEMBAHASAN SOAL SBMPTN PERSAMAAN DAN FUNGSI LOGARITMA 3

BAHAN BELAJAR MATEMATIKA LOGARITMA PEMBAHASAN SBMPTN MATEMATIKA

1. Jika diketahui persamaan logaritma ^xlog 2 + ^xlog (3x - 4) = 2 mempunyai dua penyelesaian yaitu x₁ dan x₂, maka hasil kali akar-akarnya adalah ....

   A. x1.x2 = 8

   B. x1.x2 = 6

   C. x1.x2 = 4

   D. x1.x2 = 3

   E. x1.x2 = 2

   
   Pembahasan :
   Sifat logaritma yang kita gunakan untuk soal ini adalah :
   

   alog b + alog c = alog(b.c)

   alog ab = b

   
   
   Dengan menggunakan sifat logaritma tersebut, maka bentuk persamaan logaritma pada soal dapat kita sederhanakan menjadi :
   ⇒ ^xlog 2 + ^xlog (3x - 4) = 2
   ⇒ ^xlog {2(3x - 4)} = 2
   ⇒ ^xlog (6x - 8) = ^xlog x²
   ⇒ 6x - 8 = x²
   ⇒ x² - 6x + 8 = 0
   
   Bentuk sederhana di atas merupakan bentuk persamaan kuadrat yang memiliki akar-akar x₁ dan x₂. Hasil kali akar-akar suatu persamaan kuadrat dapat kita tentukan dengan mencari akar-akarnya terlebih dahulu atau dengan menggunakan rumus berikut :
   

   x1 . x2 = c⁄a

   
   Dari persamaan kuadrat yang kita peroleh, diketahui :
   ⇒ x² - 6x + 8 = 0
   ⇒ a = 1; b = -6; c = 8.
   
   Dengan demikian, hasil kali akar-akarnya adalah :
   ⇒ x₁ . x₂ = ^c⁄_a
   ⇒ x₁ . x₂ = ⁸⁄₁
   ⇒ x₁ . x₂ = 8
   

   Jawaban : A
   
   
2. Grafik fungsi y = log x² adalah ....
   
   
   

   
   
   Pembahasan :
   Berikut sifat logaritma yang dapat kita gunakan :
   

   alog b2 = 2. alog |b|

   
   
   Berdasarkan sifat di atas, fungsi soal dapat kita ubah menjadi :
   ⇒ y = log x²
   ⇒ y = 2 log |x|
   
   Karena basis logaritmanya 10, kita bisa menentukan beberapa titik bantu, yaitu :
   Untuk x = 1 dan x = -1
   ⇒ y = 2 log |x|
   ⇒ y = 2 log 1
   ⇒ y = 2 log 10⁰
   ⇒ y = 2 (0)
   ⇒ y = 0
   Titik (1, 0) dan (-1,0)
   
   Untuk x = 10 dan x = -10
   ⇒ y = 2 log |x|
   ⇒ y = 2 log 10
   ⇒ y = 2 (1)
   ⇒ y = 2
   Titik (10, 2) dan (-10,2)
   
   Dengan menghubungkan titik-titik bantu tersebut (seperti grafik eksponen), maka grafik fungsi y = log x² kurang lebih seperti gambar di bawah ini.
   

   

     Jawaban : E
   
   
3. Jika ⁸¹log ¹⁄_x = ^xlog ¹⁄_y = ^ylog ¹⁄₈₁, maka 2x - 3y sama dengan ....

   A. -162	D. 81
   B. -81	E. 162
   C. 0

   
   Pembahasan :
   Sifat logaritma yang kita gunakan :
   

   alog b . blog c . clog d = alog d

   
   Karena ketiga bentuk logaritma bernilai sama, maka misalkan nilainya sama dengan p. Selanjutnya kita gunakan sifat perkalian logaritma di atas untuk menentukan nilai p.
   ⇒  ⁸¹log ¹⁄_x . ^xlog ¹⁄_y . ^ylog ¹⁄₈₁ = p.p.p
   ⇒  ⁸¹log ¹⁄_x . ^xlog ¹⁄_y . ^ylog ¹⁄₈₁ = p³
   ⇒  ⁸¹log x^-1. ^xlog y^-1 . ^ylog (81)^-1 = p³
   ⇒ (-1)⁸¹log x . (-1)^xlog y . (-1)^ylog 81 = p³
   ⇒ (-1)³ (⁸¹log x . ^xlog y . ^ylog 81) = p³
   ⇒ (-1) ⁸¹log 81 = p³
   ⇒ -1 = p³
   ⇒ p = -1
   
   Karena pada soal ditanya nilai 2x - 3y, maka kita harus mencari nilai x dan y terlebih dahulu.
   Menentukan nilai x :
   ⇒ ⁸¹log ¹⁄_x = p
   ⇒ ⁸¹log ¹⁄_x = -1
   ⇒ ⁸¹log x^-1 = ⁸¹log (81)^-1
   ⇒ x^-1 = (81)^-1
   ⇒ x = 81
   
   Menentukan nilai y :
   ⇒ ^ylog ¹⁄₈₁ = p
   ⇒ ^ylog ¹⁄₈₁ = -1
   ⇒ ^ylog (81)^-1 = ^ylog y^-1
   ⇒ (81)^-1 = y^-1
   ⇒ y = 81
   
   Dengan demikian, kita peroleh :
   ⇒ 2x - 3y = 2(81) - 3(81)
   ⇒ 2x - 3y = 162 - 243
   ⇒ 2x - 3y = -81
   

   Jawaban : B

PEMBAHASAN SOAL SBMPTN LOGARITMA 2

PEMBAHASAN SOAL SBMPTN LOGARITMA 2

BAHAN BELAJAR MATEMATIKA LOGARITMA PEMBAHASAN SBMPTN MATEMATIKA

1. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan ³log x + ³log (2x - 3) < 3 adalah .....

   A. {x| x > 3⁄2}

   B. {x| x > 9⁄2}

   C. {x| 0 < x < 9⁄2}

   D. {x| 3⁄2 < x < 9⁄2}

   E. {x| -3 < x < 9⁄2}

   
   Pembahasan :
   Syarat agar pertidaksamaan di atas terpenuhi adalah :
   

   • x > 0
   • 2x - 3 > 0
   
   Karena 2x - 3 > 0, maka :
   ⇒ 2x - 3 > 0
   ⇒ x > ³⁄₂ (memenuhi)
   
   Prinsip logaritma yang kita gunakan untuk menyelesaikan soal ini :
   

   alog b + alog c = alog (b.c)

   
   Selanjutnya, dengan menggunakan prinsip logaritma, bentuk pertidaksamaan di atas dapat disederhanakan dan diubah menjadi bentuk persamaan kuadrat sebagai berikut :
   ⇒ ³log x + ³log (2x - 3) < 3
   ⇒ ³log {x(2x - 3)} < ³log 3³
   ⇒ ³log {x(2x - 3)} < ³log 27
   ⇒ x(2x - 3) < 27
   ⇒ 2x² - 3x < 27
   ⇒ 2x² - 3x - 27 = 0
   ⇒ (2x - 9)(x + 3) < 0
   
   Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan di atas dapat diuji dengan menggunakan garis bilangan. Karena kurang dari nol (negatif), maka diperoleh nilai x :
   ⇒ -3 < x < ⁹⁄₂
   
   Karena sebelumnya kita sudah memperoleh nilai x yang memenuhi berdasarkan syarat, yaitu x > ³⁄₂, maka himpunan penyelesaian pertidaksamaan ³log x + ³log (2x - 3) < 3 adalah :
   ⇒ HP = {x| ³⁄₂ < x < ⁹⁄₂}
   

   Jawaban : D

   
   
2. Diketahui persamaan sebagai berikut :
   
   10(x² - x - 12)^{log(x2 - x - 12)} = (x - 4)²(x + 3)²
   Jumlah semua akar persamaan tersebut adalah .....
   

   A. -2	D. 1
   B. -1	E. 2
   C. 0

   
   Pembahasan :
   Untuk menyelesaiakn soal di atas, berikut prinsip-prinsip logaritma yang dapat kita gunakan :
   

   alog (b.c) = alog b + alog c

   alog bm = m alog b

   
   
   Berdasarkan prinsip tersebut kita peroleh :
   ⇒ 10(x² - x - 12)^{log(x2 - x - 12)} = (x - 4)²(x + 3)²
   ⇒ log {10.(x² - x - 12)^{log(x2 - x - 12)}} =  log (x - 4)²(x + 3)²
   
   Gunakan rumus nomor 1 untuk menyederhanakan ruas kiri :
   ⇒ log 10 + log (x² - x - 12)^{log(x2 - x - 12)} =  log {(x - 4)(x + 3)}²
   ⇒ 1 + log (x² - x - 12)^{log(x2 - x - 12)} =  log (x² - x - 12)²
   
   Gunakan rumus nomor 2 untuk menyederhanakan kedua ruas :
   ⇒ 1 + log (x² - x - 12).log (x² - x - 12) = 2 log (x² - x - 12)
   ⇒ 1 + {log (x² - x - 12)}² - 2 log (x² - x - 12) = 0
   ⇒ 1 + log² (x² - x - 12) - 2 log (x² - x - 12) = 0
   ⇒ log² (x² - x - 12) - 2 log (x² - x - 12) + 1 = 0
   
   Perhatikan persamaan di atas! persamaan tersebut sudah berbentuk persamaan kuadrat. Untuk mempermudah perhitungan, kita misalkan :
   ⇒ log (x² - x - 12) = p
   
   Maka persamaannya menjadi :
   ⇒ p² - 2p + 1 = 0
   ⇒ (p - 1)(p - 1) 0
   ⇒ p₁ = 1 dan p₂ = 1
   
   Karena p ada dua, maka akar-akar persamaan logaritma akan ada 4 yaitu x₁, x₂, x₃ dan x₄. Untuk mengetahui jumlah akar-akarnya, kembalikan pemisalan ke bentuk semula :
   Untuk p₁ = 1
   ⇒ log (x² - x - 12) = 1
   ⇒ log (x² - x - 12) = log 10
   ⇒ x² - x - 12 = 10
   ⇒ x² - x - 22 =  0 ; diperoleh x₁ dan x₂.
   Diketahui : a = 1, b = -1, c = -22.
   
   Jumlah x₁ dan x₂ :
   ⇒ x₁ + x₂ =  ^-b⁄_a
   ⇒ x₁ + x₂ = ¹⁄₁
   ⇒ x₁ + x₂ = 1
   
   Untuk p₂ = 1, dengan cara yang sama seperti di atas, akan diperoleh x₃ dan x₄ dengan jumlah yang sama yaitu 1. Dengan demikian, jumlah seluruh akarnya adalah :
   ⇒ x₁ + x₂ + x₃ + x₄ = 1 + 1
   ⇒ x₁ + x₂ + x₃ + x₄ = 2
   

   Jawaban : E

   
   
3. Diketahui 2 (⁴log x)² - 2 ⁴log √x = 1. Jika akar-akar persamaan di atas adalah x₁ dan x₂ maka x₁ + x₂ sama dengan .....

   A. 5	D. 5⁄2
   B. 9⁄2	E. 9⁄4
   C. 17⁄4

   
   Pembahasan :
   ⇒ 2 (⁴log x)² - 2 ⁴log √x = 1
   ⇒ 2 (⁴log x)² - ⁴log (√x)² = 1
   ⇒ 2 (⁴log x)² - ⁴log x = 1
   ⇒ 2 (⁴log x)² - ⁴log x - 1 = 0
   
   Misalkan ⁴log x = p, maka :
   ⇒ 2p² - p - 1 = 0
   ⇒ (2p + 1)(p - 1) = 0
   ⇒ p = -½ atau p = 1
   
   Untuk p = -½, diperoleh :
   ⇒ ⁴log x = -½
   ⇒  ⁴log x = ⁴log 4^-½
   ⇒ ⁴log x = ⁴log 4^-½
   ⇒ x = 4^-½
   

   ⇒ x =	1
   	4½

   ⇒ x =	1
   	√4

   ⇒ x₁ = ½
   
   
   Untuk p = 1, diperoleh :
   ⇒ ⁴log x = 1
   ⇒  ⁴log x = ⁴log 4¹
   ⇒ ⁴log x = ⁴log 4¹
   ⇒ x = 4¹
   ⇒ x₂ = 4
   
   Dengan demikian, jumlah akar-akarnya adalah :
   ⇒ x₁ + x₂ = ½ + 4
   ⇒ x₁ + x₂ = ⁹⁄₂
   

   Jawaban : B

   
   

PEMBAHASAN SOAL SBMPTN LOGARITMA 1

PEMBAHASAN SOAL SBMPTN LOGARITMA 1

BAHAN BELAJAR MATEMATIKA LOGARITMA PEMBAHASAN SBMPTN MATEMATIKA

1. Nilai x yang memenuhi persamaan : ²log ²log (2^x+1 + 3) = 1 + ²log x adalah ....

   A. log ⅔

   B. 2log 3

   C. 3log 2

   D. -1 atau 3

   E. 8 atau ½

   
   Pembahasan :
   ⇒ ²log ²log (2^x+1 + 3) = 1 + ²log x
   ⇒ ²log ²log (2^x+1 + 3) = ²log 2 + ²log x
   ⇒ ²log ²log (2^x+1 + 3) = ²log 2x
   ⇒ ²log (2^x+1 + 3) = 2x
   ⇒ ²log (2^x+1 + 3) = ²log 2^2x
   ⇒ 2^x+1 + 3 = 2^2x
   ⇒ 2^x.2¹ + 3 = (2^x)²
   ⇒ 0 = (2^x)² - 2.2^x - 3
   ⇒ (2^x)² - 2.2^x - 3 = 0
   
   Perhatikan bentuk di atas! Persamaan tersebut merupakan persamaan kuadrat. Untuk mempermudah, misalkan 2^x = p sehingga persamaannya menjadi :
   ⇒ p² - 2p - 3 = 0
   ⇒ (p + 1)(p - 3) = 0
   ⇒ p = -1 atau p = 3
   
   Substitusi nilai p untuk memperoleh nilai x.
   Untuk p = -1
   ⇒ 2^x = p
   ⇒ 2^x = -1
   ⇒ x = ²log -1
   
   Untuk p = 3
   ⇒ 2^x = p
   ⇒ 2^x = 3
   ⇒ x = ²log 3
   Jadi, nilai x yang memenuhi adalah ²log 3.
   

   Jawaban : B
   
   
2. Jika diketahui persamaan logaritma berikut ini :

   2log a	= m
   3log b

   3log a	= n
   2log b

   Dengan a > 1 dan b > 1, maka nilai ^m⁄_n adalah ....

   A. 2log 3	D. (3log 2)2
   B. 3log 2	E. (2log 3)2
   C. 4log 9

   
   Pembahasan :
   

   ⇒	m	=	2log a⁄ 3log b
   	n		3log a⁄ 2log b

   ⇒	m	=	2log a	.	2log b
   	n		3log b		3log a

   ⇒	m	=	2log a 2log b
   	n		3log a 3log b

   
   Ingat kembali rumus logaritma berikut :
   

   alog b =	1
   	blog a

   
   Dengan menggunakan rumus tersebut, maka bentuk persamaan yang kita peroleh di atas, dapat disederhankan menjadi :
   ⇒ ^m⁄_n = (²log a. ^alog 3).(²log b. ^blog 3)
   ⇒ ^m⁄_n = ²log 3. ²log 3
   ⇒ ^m⁄_n = (²log 3)²
   

   Jawaban : E
   
   
3. Jika ²log x + ⁴log √y = ⁴log z², maka nilai z² sama dengan ....

   A. x√y	D. √xy
   B. x2√y	E. √y
   C. xy

   
   Pembahasan :
   Ingat kembali rumus logaritma berikut :
   ^alog b = ^a2log b²
   
   Dengan rumus di atas, maka persamaan di soal dapat diubah :
   ⇒ ²log x + ⁴log √y = ⁴log z²
   ⇒ ²²log x² + ⁴log √y = ⁴log z²
   ⇒ ⁴log x² + ⁴log √y = ⁴log z²
   ⇒ ⁴log x².√y = ⁴log z²
   ⇒ x².√y = z²
   Jadi, nilai z² = x².√y.
   

   Jawaban : B
   
   
4. Perhatikan bentuk pembagian berikut :

   3 + log (log x)	= ......
   3 log (log x1000)

   
   Nilai dari bentuk di atas adalah .....
   

   A. 1 +	1
   	log (log x)

   B.	1	+	1
   	300		1000 log (log x)

   C.	1	+	1
   	3		100 log (log x)

   D. 1⅓

   E. ⅓

   
   Pembahasan :

   ⇒	3 + log (log x)	=	log 1000 + log (log x)
   	3 log (log x1000)		3 log (1000 log x)

   ⇒	3 + log (log x)	=	log (1000 log x)
   	3 log (log x1000)		3 log (1000 log x)

   ⇒	3 + log (log x)	=	1
   	3 log (log x1000)		3

   Jawaban : E